Programacion numerica - iupsm

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INTRODUCCIÓN

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en laresolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes deprogramación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos

PRODUCTO DE  MATRICES

la multiplicación o producto de matrices es la operación de multiplicación que se efectúa entre dos matrices, o bien entre una matriz y un escalar.

Al igual que la multiplicación aritmética, su definición esinstrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de resolverla. El algoritmo que resuelve la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad

El producto de matrices requiere de una condición previa muy restrictiva: si A y B son dos matrices,podrán multiplicarse sólo en el caso de que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda. Se dice en este caso que A y B son multiplicables.

El resultado es una matriz que tiene tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda.

Así, si C es la matriz producto A·B, el elemento cij se obtiene de la siguiente manera:1º Selecciona la fila i de la primera matriz y la columna j de la segunda.

2º Multiplica el primer elemento de la fila por el primer elemento de la columna seleccionadas. Haz lo mismo con el segundo, tercero, ..., hasta el último elemento de la fila y columna seleccionadas.

3º Por último, suma todos los productos realizados. El resultado de esta suma es el elemento buscado.Ejemplo:

Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B; es decir:

[pic]y [pic]
La multiplicación de A por B, que se denota A·B, A×B o simplemente AB, está definida como:

[pic]

donde cada elemento ci,j está definido por:

[pic]

|Gráficamente, si |[pic]|   y   |[pic] |
| | |  | |

|      entonces  |[pic] |

Propiedades

Sean A, B y C matrices para las cuales la multiplicación entre ellas estábien definida, es decir, tales que sus elementos pertenecen a un cuerpo donde la multiplicación está definida, y de manera que el número de filas y de columnas permite realizar la multiplicación.

MÉTODO DE GAUSS – JORDAN

Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos enlas operaciones aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.

El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 =...
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