Programacion Numerica

PARTICION DE UN CONJUNTO

Tenemos un conjunto A, construimos todos los subconjuntos del conjunto A. Al conjunto formado por todos los subconjuntos de A se le llama conjunto de partes del conjunto A.
Tenemos un conjunto A, creamos subconjuntos de A de forma que cualquier elemento de A esté en al menos uno de los subconjuntos. Al conjunto formado por esos subconjuntos se le llama recubrimientodel conjunto A.
Ejemplo: A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A1 = {0,1,2,3,4,5}, A2 = {0,1,2,8,9}, A3 = {4,5,6,7,8,9}. Los subconjuntos A1, A2 y A3 hacen un recubrimiento del conjunto A.
Cuando en el recubrimiento los elementos del conjunto A están SÓLO en uno de los subconjuntos se le llama partición.
Esto podemos visualizarlo si nos imaginamos una finca agrícola. Dividimos su superficie en parcelasque obviamente no se superponen unas a otras, esa parcelación (partición) es una partición.
Ejemplo: A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A1 = {0,1,2,3,4,5}, A2 = {6,7,8,9}. Los subconjuntos A1, A2 hacen una partición del conjunto A.

http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Algebra/Teoria%20de%20Conjuntos/Operaciones/Particion.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Partici%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)http://materias.fi.uba.ar/61107/Apuntes/Cj200.pdf

PARTICION DE UN NÚMERO

Diremos que dos expresiones de N como suma de naturales son la misma si permutando los números que aparecen en la suma podemos pasar de una a la otra. Así
6=2+1+2+1 y 6=1+1+2+2
son expresiones iguales de N=6. Una expresion de este tipo la llamaremos una partición de N. Llamaremos p(N) el número de particiones de N.Tenemos que:

p(n) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
n | 3 | 5 | 7 | 11 | 15 | 22 | 30 | 42 | 56 | 77 | 101 | 135 | 176 | 231 | 297 | 385 | 490 | 627 | 792 | 1002 | 1255 | 1575 | 1958 |

La fórmula más famosa para las particiones de n se debe a Euler, y dice:
1
= 1 + p(1) x + p(2) x2 + p(3) x3 + ...(1-x)(1-x2)(1-x3)... |

http://usuarios.multimania.es/teoriadenumeros/parti.html
http://yachay.stormpages.com/04rac/di_003part1.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Partici%C3%B3n_(teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros)

NUMEROS DE STIRLING DE 1° CLASE

Dado el grupo de permutaciones Sn sobre un conjunto de n elementos, se podría plantear la cuestión de cuántas permutaciones se pueden descomponer exactamente enk ciclos. A este número S1(n,k) así definido lo llamaremos Número de Stirling de primera clase.
Por ejemplo, el número S1(4,3) = 6 significa que hay seis permutaciones de 4 elementos (por ejemplo. en el conjunto 1234) que se pueden descomponer en 3 ciclos. Serían estas: (1)(2)(34), (1)(3)(24), (1)(4)(23), (2)(3)(14), (2)(4)(13) y (3)(4)(12).
Se puede definir S1(n,0) con n>0 como 0, yaceptaremos que S1(0,0)=1 y que S1(0,n)=0.
Es claro que se cumple que S1(n,n)=1 pues sólo obtendríamos la permutación identidad, y es fácil demostrar que S1(n,1)=(n-1)!
Los primeros números de Stirling de primera clase son

http://hojamat.es/sindecimales/combinatoria/teoria/teorcomb.htm
http://www.jhnieto.org/md/c06.pdf

NUMEROS DE STIRLING DE 2° CLASE
Los Números de Stirling de segunda especieS(n,k) se definen como la cantidad de maneras que existen de hacer una partición de un conjunto de n elementos en k subconjuntos. La suma

es el n-ésimo Número de Bell. Si tomamos la fórmula

(en particular, (x)0 = 1 porque se trata de un producto vacío), podemos caracterizar los números de Stirling de segundo tipo mediantehttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_de_Stirling_de_segunda_especie
http://hojamat.es/sindecimales/combinatoria/teoria/teorcomb.htm
http://www.buenastareas.com/ensayos/Numeros-Stirling/1589873.html

EL PROBLEMA DE JOSEPHUS
Josephus Flavius fue un famoso historiador judío. Cuentan que durante la guerra de los judíos y romanos, él se quedo atrapado, con otros 40 judíos en una cueva asediada por los romanos y sin una posible vía de escape. La leyenda...