progreciones




Universidad de Valparaíso
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Escuela de Ingeniería Comercial



Progresiones



Para hablar de progresiones, primero es necesario entender el concepto de sucesión
Sucesión: “conjunto ordenado de números que se deducen unos de otrosmediante una regla definida. Los números de una sucesión reciben el nombre de términos “
Toda función cuyo dominio sean los naturales se llama sucesión, es decir:
F: IN IR
Notaciones :
Sn: IN IR
An: IN IR

Ejemplos1,2,3,4,...,n la de los números naturales
2,4,6,8,...,2n la de los números pares
1,3,5,7,...,2n-1 la de los números impares
1,4,9,16,..., n2 números al cuadrado
5,10,15,20,...,5n la de los múltiplos de 5
1,8,27,64,...,n3 números al cubo
1,9,17,25,...,8n-7





Sucesiones hay de 4 tipos:1. - progresiones aritméticas
2. - progresiones geométricas
3. - progresiones geométricas infinitas
4. - progresiones armónicas



Progresiones Aritméticas


Es una sucesión en la cual todos los términos, posteriores al primero, se deducen del anterior añadiendo un número constante que se llamadiferencia de la progresión ( d = diferencia ).
Por ejemplo , 3,7,11,15,19,...,es una P.A. , ya que cada término se obtiene sumando 4 unidades al anterior. En la P.A. 50 ,45 ,40,..., la diferencia es 45-50 = 40-45 = -5


Fórmulas de la P.A.

1) el termino enésimo o el último :

Sn = an = a1 + ( n-1 ) d2) para obtener la suma de n términos

Spa = n/2 ( 2 a1 + (n-1) d ).
o Spa = n/2 ( a1 + an )

Siendo a1 = primer término; d = diferencia ; n = número de términos ; Sn = an término enésimo; Spa = sumade los n primeros términos


Ejemplos
1) Consideremos la P.A. 3,7,11,... siendo a = 3 ,y d = 7-3 = 11-7 = 4 . El sexto término es Sn = a1 + ( n-1) d = 3+( 6-1) 4 = 23 .

La suma de los seis primeros términos es
Spa = n/2 ( a+1 ) = 6/2 (3+23) = 78 o
Spa = n/2 ( 2 a + (n-1) d ) = 6/2 ( 2( 3 ) +( 6-1) 4) = 78


2) el cuartotérmino de una P.A. es 4 y el séptimo término es 2 . formar la progresión y encuentre el término general .




a+(4-1)d =4 a+3 ( -2/3 )= 4
a+(7-1)d =2 a-2 =4a=6
a+ 4d-d = 4
a+ 7d –d=2 Sn = 6+(n-1) (-2/3)
Sn = 6-2/3n+2/3
a+3d= 4 Sn = 20 / 3 – 2/3n
a+6d=2 -1 Sn = 2/3 (10-n)


-3d= 2
d =-2/3Progresiones Geométricas

Es una sucesión en la cual todos los términos , posteriores al primero, se deducen del anterior multiplicándolo por una constante que se llama razón de la progresión , por ejemplo.


5,10,20,40,80,...,es una P.G. ya que cada término se obtiene multiplicando por dos al anterior . En la P.G. ,...