Progreción Y Sucesion

Una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.
a1, a2, a3 ,..., an
Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.
Determinación de una sucesión:
Por el término general
an=2n-1
Por una ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Operaciones con sucesiones
Dadas las sucesiones an y bn:
an= a1, a2, a3, ..., an
bn= b1, b2, b3, ..., bn

En matemáticas, una progresión aritmética es una serie de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de laprogresión o simplemente diferencia o incluso "distancia".
Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) 2. Así como: 5 ; 2 ; -1 ; -4 es una progresión aritmética de constante "-3".
El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término deuna progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de laprogresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.
Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
y así sucesivamente.
Aunque es más fácil aplicando lafórmula:

Siendo el término en cuestión, el primer término y la razón:

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión

EJM:
La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
Suma de términos de una progresión aritmética
Consideraremos en primer lugar algunas propiedades de la suma de términos de una progresiónaritmética. En particular nos fijaremos en la suma de los dos términos extremos, el primero y el último, así como en la suma de aquéllos cuyos lugares sean equidistantes de los extremos de la progresión. Seguidamente estudiaremos el término central de una progresión aritmética con un número impar de términos. Finalmente se generalizará a todos los términos de la progresión.
[editar] Suma de los dostérminos extremos, y suma de los términos equidistantes de aquéllos

Arriba se han escrito los siete primeros términos de la progresión aritmética de término general an = 5n. Se comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos términos equidistantes a éstos, e igual al doble del término central. Esta importante propiedad va a permitir determinar la suma de todos lostérminos de una progresión aritmética, por grande que ésta sea.
Sea la progresión aritmética de diferencia d :

Sumemos el primer y último términos:

(IV)
Veamos ahora la suma de dos términos equidistantes de los extremos. Éstos serán de la forma y , siempre que .
Aplicando (I)

Sumamos y obtenemos:

el mismo resultado que el obtenido para .
Concluímos por tanto que la suma del primer yúltimo términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:

Interpolación de términos diferenciales
Interpolar k términos diferenciales entre dos números y dados, es formar una progresión aritmética de términos, siendo el primero y el último. El problema consiste en encontrar la diferencia de la progresión.
Apliquemos (II), , teniendo...