PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

PROGRESIONES
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Son sucesiones de números tales que, conocido el primero, cada uno de los restantes se
obtiene del anterior, sumándole un número fijo y constante llamadodiferencia (d).
En una progresión aritmética, cada término es la media (media aritmética) entre el anterior
y el posterior.
Ejemplo:
4, 7, 10, 13, 16,…
De manera general se obtiene la progresiónaritmética siguiendo la secuencia:
a, a+d, a+2d, a+3d, a+ 4d,… ,a+(n-1)d
Términos de la progresión a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, …, a+(n-1)d
Número de términos (n) 1
2
3
4
5
…
n
La diferencia d seobtiene restando cualquier término de la progresión del término que le
sigue.
FÓRMULAS
Término n-ésimo:
Representa a cualquiera de los términos (elementos) de la sucesión, suele llamarse últimotérmino.
𝒂𝒏 = 𝒂 + (𝒏 − 𝟏)𝒅
Diferencia:
𝒅=
Suma de los n primeros términos:
𝑺𝒏 =
𝑺𝒏 =
Dónde:
𝑎𝑛 : Término n-ésimo.
𝑎: Primer término.
𝑛: Número de términos.
𝑑: Diferencia.
𝑆𝑛 : Suma de los nprimeros términos.

𝒂𝒏 − 𝒂
𝒏−𝟏

𝒏
(𝒂 + 𝒂𝒏 )
𝟐

𝒏
[𝟐𝒂 + (𝒏 − 𝟏)𝒅]
𝟐

Ejemplos:
1) Dada la sucesión: 8, 12, 16, 20,… ¿Cuál es el séptimo término?
𝑎𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑

𝑎7 = ?
𝑎=8
𝑛=7
𝑑= 12 − 8 = 16 − 12 = 4
2) Hallar el término 𝑎10
𝑎10 = ?
𝑎=5
𝑛 = 10
𝑑 = −3

𝑎7 = 8 + (7 − 1)(4)

𝑎7 = 32
en una progresión en la que 𝑎 = 5 y la diferencia es 𝑑 = −3.
𝑎𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑
𝑎10 =5 + (10 − 1)(−3)
𝑎7 = 5 − 27
𝑎7 = −22

3) Los dos primeros términos de una progresión aritmética son (𝑎 − 𝑏)2 y (𝑎 + 𝑏)2 . Halla
la suma de los siete primeros términos
𝑎1 = (𝑎 − 𝑏)2
𝑛
𝑆𝑛 =[2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑]
𝑑 = 𝑎2 − 𝑎1
𝑎2 = (𝑎 + 𝑏)2
2
𝑛=7
2
2
7
𝑑 = (𝑎 + 𝑏) − (𝑎 − 𝑏)
𝑑 =?
𝑆7 = [2(𝑎 − 𝑏)2 + (7 − 1)(4𝑎𝑏)]
2
𝑆7 =?
𝑑 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏 − 𝑎 + 𝑏)
7
𝑆7 = [2𝑎2 − 4𝑎𝑏 + 2𝑏 2 + 24𝑎𝑏](
)(
)
𝑑 = 2𝑎 2𝑏
2
7
𝑆7 = [2𝑎2 + 20𝑎𝑏 + 2𝑏 2 ]
2

𝑑 = 4𝑎𝑏

𝑆7 = 7𝑎2 + 70𝑎𝑏 + 7𝑏 2
4) Interpolar 4 medios aritméticos entre 10
y 35.
10, _ , _ , _ , 35
𝑎 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑑
𝑛

𝑎 =...