Propiedades de las desigualdades

Propiedades De Las Desigualdades

Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división,la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).
Transitividad
• Para númerosreales arbitrarios a,b y c:
• Si a > b y b > c entonces a > c.
• Si a < b y b < c entonces a < c.
• Si a > b y b = c entonces a > c.
• Si a < b y b = c entonces a < c.
Adición y sustracción
•Para números reales arbitrarios a,b y c:
• Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
• Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.
Multiplicación y división
• Para números realesarbitrarios a y b, y c diferente de cero:
• Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
• Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.
Opuesto
• Para números reales arbitrarios a y b:• Si a < b entonces −a > −b.
• Si a > b entonces −a < −b.
Recíproco
• Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:
• Si a < b entonces 1/a > 1/b.
• Si a >b entonces 1/a < 1/b.
• Si a y b son de distinto signo:
• Si a < b entonces 1/a < 1/b.
• Si a > b entonces 1/a > 1/b.
Función monótona
Al aplicar una función monótona creciente a ambos lados, ladesigualdad se mantiene. Si se aplica una función monótona decreciente, la desigualdad se invierte.
Ejemplo

al aplicar la función exponencial a ambos miembros de la desigualdad, esta se mantiene.Valor absoluto
Se puede definir el valor absoluto por medio de desigualdades:
•
•
Cuerpo ordenado
Si (F, +, ×) es un cuerpo y ≤ es un orden total sobre F, entonces (F, +, ×, ≤) es un cuerpoordenado si y solo si:
• a ≤ b implica a + c ≤ b + c;
• 0 ≤ a y 0 ≤ b implica 0 ≤ a × b.
Los cuerpos (Q, +, ×, ≤) y (R, +, ×, ≤) son ejemplos comunes de cuerpo ordenado, pero ≤ no puede...