Propiedades De Los Numeros Reales

Los números reales son un conjunto R con dos operaciones binarias + y * el cual satisface los siguientes axiomas.

Axioma 1 Cerradura
Si a y b están en R entonces a+b y a*b son números determinados en forma única que están también en R.

Axioma 2 Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación)
Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a*b = b*a.

Axioma 3 Propiedad Asociativa. (Suma yMultiplicación)
Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a*(b*c) = (a*b)*c

Axioma 4 Propiedad Distributiva.
Si a, b y c están en R entonces a*(b+c) = ab+ac

Axioma 5 Existencia de Elementos neutros.
R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece a los reales.

Axioma 6 Elementos inversos Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Sia está en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a*(1/a) = 1.

[+ El inverso multimplicativo de a también se representa por {$ a^{−1} $}

El primer axioma garantiza que la suma y la multiplicación son operaciones binarias en los números reales. Los axiomas 2 al 4 indican la forma de manipular algebraicamente las dos operaciones. El axioma 5 establece la existenciade dos elementos distintos 0 y 1. Y el último axioma indica la existencia de los elementos inverso por lo que los números reales forman un campo, nótese que en la segunda parte de este último axioma se supone diferente de cero el número a.

También es fácil ver que combinando el axioma 2 con los axiomas 5 y 6 tenemos:
0 + a = 0
1.a = a(-a) + a = 0
(1/a)*a = 1

Como es costumbre en álgebra, el producto a*b se representará simplemente por ab, también se puede utulizar un punto a.b

Es importante aclarar que estas propiedades de campo son el resultado de muchos años de trabajo de la humanidad para poder llegar a resumir la característica algebraica de los números. En general el álgebraestudia estructuras básicas como grupos, anillos, dominios integrales, espacios vectoriales, campos, etc. que es una clasificación de acuerdo a las propiedades que satisfacen. De las mencionadas un campo es la estructura más completa, que es precisamente la estructura de los números reales.

Aparentemente, después de ver los axiomas se pensaría que faltan propiedades pues no se ha mencionado laresta ni la división, faltan potencias y raíces, y muchas otras cosas. Cómo es posible que con estas propiedades lo demás se cumpla automáticamente?

Efectivamente, faltan las ideas de resta, división, potencias, raíces y otras más. Pero éstas son una consecuencia de las anteriores; podemos construirlas en base a los seis axiomas y lo único que faltaría es dar la definición y comprobar que esposible hacerlo.
Propiedades de los números Reales
•
Cerradura.- Cuando se operan con números reales se obtienen números reales.

•
Tricotomía.- Propiedad de orden, entre dos números reales solo puede existir una de tres

relaciones. a > b ; a = b ó a < b.
•
Conmutativa.- Se cumple solo para adición y productos. El orden de los sumandos o

factores no alteran la suma o producto.
•Asociativa. - Los sumandos o factores se pueden agrupar o asociar de diferente manera y

obtenerse el mismo resultado.
•
Distributiva.- El producto de un número por la suma o diferencia de otros dos números

diferente será igual al producto de él número por cada sumando, o igual al

producto del número por el minuendo menos el producto del número por él

sustraendo respectivamente.
•
Existenciade elementos neutros.- Dado un número (a) siempre existe un número (b) tal que:


1) a + b = a 2) a - b = a

3) a * b = a 4) a / b = a

Siendo ( b ) en los dos primeros casos cero y en los casos 3 y 4 uno.

g) Inverso Aditivo. - El inverso aditivo de un número (a) es (-a) de tal forma que a -a = 0

y dado un número (-a) el inverso aditivo es (a) de tal forma que -a +a = 0.

Por lo tanto...