Propiedades Probabilidad

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Propiedades b´sicas de la probabilidad
a
I. Reglas para calcular probabilidades de sucesos expresados en t´rminos de otros
e
I.1: P (∅) = 0.
N

N

I.2: Aditividad: A1 , . . . , AN ∈ A y Ai ∩ Aj = ∅, ∀i = j ⇒ P

Ai
i=1

=

P (Ai ).
i=1

I.3: A ∈ A ⇒ P (Ac ) = 1− P (A).
I.4: A, B ∈ A ⇒ P (A − B ) = P (A) − P (A ∩ B ).
I.5: A, B ∈ A y B ⊆ A ⇒ P (A − B ) = P (A) − P (B ).
I.6: Regla de adici´n: A, B ∈ A ⇒ P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ).
o
I.7: Principio de inclusi´n-exclusi´n: A1 , . . . , AN ∈ A ⇒
o
o
N

P

N

Ai
i=1

N

i=1

N

i1 ,i2 =1
i1 N . Estos sucesos son mutuamente excluyentes y
o

Ai =
i∈N

Ai .

i=1Entonces, el resultado se obtiene a partir del axioma de σ -aditividad (A3) y teniendo en cuenta que, por la propiedad
I.1, P (Ai ) = P (∅) = 0, ∀i > N ,

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N

N

Aditividad: A1 , . . . , AN ∈ A y Ai ∩ Aj = ∅, ∀i = j ⇒ P

Ai

=

P(Ai )
i=1

i=1

N

Construimos lasucesi´n {Ai }i∈N , con Ai = ∅, ∀i > N . Estos sucesos son mutuamente excluyentes y
o

Ai =
i∈N

Ai .

i=1

Entonces, el resultado se obtiene a partir del axioma de σ -aditividad (A3) y teniendo en cuenta que, por la propiedad
I.1, P (Ai ) = P (∅) = 0, ∀i > N ,
+∞

N

Ai

P

=P

i=1

+∞

Ai
i=1

↑
Ai = ∅, ∀i > N

A3

=

P (Ai ) =
i=1

+∞

N

P (Ai ) +i=1

N

P (Ai ) =

P (Ai ).
i=1

i=N +1

↑
P (Ai ) = 0, ∀i > N

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A ∈ A ⇒ P(Ac ) = 1 − P(A)

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A ∈ A ⇒ P(Ac ) = 1 − P(A)

Descomponemos el espaciomuestral como uni´n de los sucesos incompatibles A y Ac :
o

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A ∈ A ⇒ P(Ac ) = 1 − P(A)

Descomponemos el espacio muestral como uni´n de los sucesos incompatibles A y Ac :
o

→ Ω = A ∪ Ac

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A ∈ A ⇒ P(Ac ) = 1 − P(A)

Descomponemos el espacio muestral como uni´n de los sucesos incompatibles A y Ac :
o

→ Ω = A ∪ Ac

Aplicamos la propiedad de aditividad (I.2) y el axioma del suceso seguro (A2),

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A ∈ A ⇒ P(Ac ) = 1 − P(A)Descomponemos el espacio muestral como uni´n de los sucesos incompatibles A y Ac :
o

→ Ω = A ∪ Ac

Aplicamos la propiedad de aditividad (I.2) y el axioma del suceso seguro (A2),

A2

1 = P (Ω) = P (A ∪ Ac ) = P (A) + P (Ac ).
↑
aditividad

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A ∈ A ⇒ P(Ac ) = 1 −P(A)

Descomponemos el espacio muestral como uni´n de los sucesos incompatibles A y Ac :
o

→ Ω = A ∪ Ac

Aplicamos la propiedad de aditividad (I.2) y el axioma del suceso seguro (A2),

A2

1 = P (Ω) = P (A ∪ Ac ) = P (A) + P (Ac ).
↑
aditividad

Entonces, el resultado es inmediato sin m´s que despejar P (Ac ) de esta expresi´n.
a
o

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A, B ∈ A ⇒ P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B)

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A, B ∈ A ⇒ P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B)

Descomponemos el suceso A como uni´n de dos sucesos incompatibles:
o

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