proporción aurea

La proporción áurea
miércoles, 28 de septiembre de 2011


Proporción áurea

 
Una proporción es la relación entre dos razones, una comparación entre dos razones. Euclides estableció  la proporción áurea mediante la división de un segmento por un punto dado de manera que la línea o segmento entero respecto al segmento medio de la división es igual a la relación entre el segmento medio y elmenor de la división.  El cociente entre cada par de razones es de forma aproximada 1,61803. Se puede expresar también mediante uno más raíz de cinco partido dos. Si al segmento medio lo llamamos equis y al menor uno, como tenemos que la línea se separa en extrema y media razón, equis es a uno como uno más equis es a equis. 
X/1=(x más 1)/x
Despejando tenemos que equis al cuadrado menos equismenos 1 es igual a 0, esta ecuación de segundo grado se resuelve de la siguiente forma: equis igual a menos b más menos, raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4 por a y por  c partido todo por dos por a; siendo a, b, c los tres términos de la ecuación, 1º, 2º y 3º respectivamente.
Cuando phi es positivo el valor es 1,6180339887, también llamado nº de oro. 
A continuación mostramos algunosdecimales correspondientes al número de oro (valor del cociente entre dos segmentos de la proporción): 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 Si elevamos al cuadrado el número de oro tenemos el mismo número   más la unidad:          1,61803 al cuadrado = 2,61803    Si dividimos uno entre el número de oro , obtenemos  0,618que es la otra solución a la ecuación de segundo grado, sin tener en cuenta el negativo de la misma: 
         1/1,61803= 0,61803  
La proporción áurea no se puede expresar como un número racional, no se puede obtener un número común que este contenido equis veces en el segmento medio y otro número de veces en el segmento menor, por esto se llaman longitudes inconmensurables, y son aquellas queno contienen medidas comunes.  
Existe una relación de proporción en la que se cumple que un segmento mayor  a+b  es al medio a como el medio a es al menor  b, al tiempo que la suma del segmento medio a y menor b  es igual al segmento mayor (a +b), a esta relación de proporción se le llama áurea.
En el dibujo podemos verificar que esto es cierto, se trata de demostrar que el segmento mayor (a+b), es al medio a como éste al menor b y la suma del medio a y el menor b es igual al mayor (a +b). Para ello proyectamos el segmento mayor (a +b) sobre otro segmento “medio” c (que es igual a a), al proyectar mediante una recta paralela el segmento medio a sobre el mismo segmento obtenemos otro segmento d que es igual al menor d, de esta forma observamos que el segmento mayor es al medio como elmedio es al menor y al tiempo la suma del medio y menor es igual al mayor.
Para mayor claridad se ha concretado de forma numérica dando al segmento medio el valor uno. De esta forma al dividir el segmento mayor entre uno sabemos que va a dar el valor del número áureo, con lo que estamos obligados a considerar el segmento mayor con el valor de 1,618. La diferencia de ambos provoca que el segmentomenor sea 0,618. El mayor entre el medio tiene como cociente 1,618 y análogamente el medio entre el menor tiene el mismo valor.
Si cambiamos los términos de la proporción tenemos que  (a+b)/a=a/b  se transforma en b/a=a/(a+b), tenemos por tanto que 0,618 es a uno, como uno es 1,618. En este caso el cociente entre ambos términos es 0,618, el otro valor de la ecuación de segundo grado que no seutiliza por tener signo negativo.

 
Podemos comprobar que la relación que establece la proporción áurea para 2 segmentos cualesquiera a b, por regla general no se cumple. En la figura tenemos un segmento dividido en dos partes, un segmento medio b y otro menor c , la suma de ambos es igual al segmento mayor a, tenemos: (a= b+c). Gráficamente proyectamos el segmento mayor a y lo transformamos en...