proporcionalidad

PROPORCIONALIDAD


1. Magnitudes proporcionales
Consideremos el siguiente problema
Sue y Julie estuvieron corriendo igual de rápidas alrededor de una pista. Sue empezó primero. Cuando ella llevaba corridas 9 vueltas, Julie había recorrido 3 vueltas. Cuando Julie completó 15 vueltas, ¿cuántas vueltas había recorrido Sue?
Cramer, Post y Currier (1993) indican, en relación con esteproblema, que 32 de 33 profesores de educación primaria en prácticas, en una clase de métodos matemáticos, resolvieron este problema mediante una proporción

9/3 = x/15; 3x = 135; x=45

Mientras estos estudiantes utilizaban el algoritmo tradicional para resolver la proporción (regla de tres), no se daban cuenta de que este problema particular no representa una situación proporcional. El algoritmousado no era una estrategia apropiada para el problema.
En cambio, en un segundo problema
3 dólares USA han sido cambiados por 2 libras británicas. ¿Cuántas libras equivaldrán a 21 dólares USA?
que expresa una situación de proporcionalidad, todos los estudiantes lo resolvieron correctamente usando el tradicional algoritmo de proporcionalidad. Pero ninguno explicó por qué este problema reflejaba unasituación de proporcionalidad mientras que el anterior no.
Superficialmente, los dos problemas son similares; cada uno contiene tres elementos de información con un número desconocido. La diferencia profunda entre las dos tareas da luz sobre lo que es especial en situaciones de proporcionalidad.
En el problema de correr vueltas, la relación entre el número de vueltas que Sue corrió y el númerode vueltas que Julie corrió puede ser expresado mediante adición o substracción:
vueltas de Sue = vueltas de Julia + 6
vueltas de Julia = vueltas de Sue – 6
En el problema de dinero, la relación entre dólares USA y libras británicas puede ser expresada mediante multiplicación:
libras británicas = 2/3 x dólares USA
dólares USA = 3/2 x libras británicas
El componente crítico de lassituaciones de proporcionalidad es la relación multiplicativa que existe entre las cantidades que representan la situación. El problema de correr vueltas no es una situación de proporcionalidad, mientras que el problema de intercambio de dinero sí lo es.
Dos magnitudes son (directamente) proporcionales cuando los valores de una magnitud son iguales a los de la otra magnitud, multiplicados por un mismonúmero k. A ese número k se le llama constante de proporcionalidad.
Por ejemplo, si un deportista recorre 10 Km. cada hora.








Tiempo transcurrido
Espacio recorrido
1
10
2
20
3
30


Los valores del Espacio recorrido son iguales a los del Tiempo transcurrido, multiplicados por 10, que es la constante de proporcionalidad.
Espacio = 10 . Tiempo
Desde un punto de vistaalgebraico, la proporcionalidad aparece ligada a la función afín. En lugar de valores de magnitud, se consideran variables, conjuntos de números abstractos (el conjunto de los números reales). La función afín relaciona la variable dependiente y con la variable independiente x, mediante la expresión:
y = k . x
La gráfica de una función afín es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas:Existen variadas situaciones de la vida cotidiana donde son aplicables las relaciones de proporcionalidad.
Un contexto familiar es el de recetas de cocina. La relación existente entre el número de personas para las que se va a cocinar y el peso de los alimentos que aparecen en la receta. Así, en el problema:
Vamos a hacer una tarta de chocolate para 4 personas. Necesitamos:
200 gramos harina,
10gramos de levadura,
0.2 litros de leche,
0.2 litros de nata,
200 gramos de chocolate y
0.1 litro de aceite.
Si vienen más personas, la tarta debe ser más grande. Completar la tabla:


Ingredientes
4 personas
5 personas
6 personas
7 personas
200 g harina
200

300

10 g levadura
10

15

0.2 l leche
0,2

0,3

0.2 l nata
0,2

0,3

200 g chocolate
200

300...