Proporciones Geometricas

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de
los contenidos.
Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Los segmentos se determinan por su longitud. Supongamos que tenemos dos segmentos

de 3 cm y

de 4 cm. Se llama proporcionalidad de los segmentos al cociente de sus longitudes. Es decir,
comparamos uno con el otro:
veces el segmento

, y decimos que tres veces elsegmento

es igual que cuatro

.

Supongamos que tenemos otros segmentos

de 9 cm y

de 12 cm la proporción entre ellos sería

. Por tanto, estos nuevos segmentos están en la misma proporción que los anteriores y se
dice:

Los segmentos
Lo escribimos así:

y

son proporcionales a los segmentos

y

.

Ejemplo:
Calcula la razón entre el segmento AB = 12 cm. y el segmento CD = 25 cm.:

AutoevaluaciónEscribe la razón entre los segmentos RT = 24 cm. y PQ =21 cm.
a)

b)

c)

d) 2

¿Los segmentos cuyas longitudes son 1, 3, 5 y 15 cm. están en proporción?
a) sí
b) no
c) No se puede saber

Área de Matemáticas - Módulo IV

Dados tres segmentos de longitudes a, b y c se denomina cuarta proporcional de a, b y c a un
segmento de longitud x, tal que verifique

.

Dados dos segmentos de longitudes a y b sellama media proporcional a un segmento de longitud x, tal
que verifique

.

Ejemplo:
Dados los segmentos de 5 cm, 4 cm y 10 cm, calcula la cuarta proporcional

Dados los segmentos de 10 cm. y 6 cm., calcula la media proporcional

Autoevaluación:

Calcula la cuarta proporcional de los segmentos a = 12 cm., b = 5cm. y c = 9 cm.
a)

b)

c)

d)

Calcula la media proporcional de los segmentos a = 12cm. y c = 3 cm.
a) 2
b) 4
c) 36
d) 6

Área de Matemáticas - Módulo IV

El teorema de Thales nos dice:

Si las rectas,

son paralelas y cortan a otras dos rectas (

determinan en ellas son proporcionales, esto nos quiere indicar que:

Ejemplo 1:
Calcula la longitud del segmento B'C' del dibujo

), entonces, los segmentos que

Solución: Por el teorema de Thales, tenemos

, por tanto:

Ejemplo 2:Comprueba si son paralelas las rectas r, s y t del dibujo.

Los segmentos que determinan las tres rectas son proporcionales porque
. Por tanto, por el teorema de Thales las rectas tienen que ser paralelas.

Autoevaluación

¿Son paralelas las rectas a, b y c del dibujo?

a) sí
b) no
c) no se puede saber
d) puede que sí y puede que no

Calcula la longitud del segmento AB

a) 3
b) 5
c)

d) 75

Áreade Matemáticas - Módulo IV

Aplicaciones del teorema de Thales
Veamos a continuación dos aplicaciones geométricas del teorema de Thales:
1. División de un segmento en partes iguales
Si queremos dividir un segmento de 6 cm en tres partes iguales, es muy sencillo. Basta con tomar tres
segmentos de 2 cm cada uno.
Sin embargo, el problema no es tan sencillo si el segmento mide 7 cm, ya que el número 7no es divisible por
3.
Veamos como se divide un segmento AB cualquiera en tres partes iguales.
1. Por uno de sus extremos, por ejemplo A, trazamos una recta cualquiera r y a partir de A marcamos
sobre la recta r la medida que queramos tres veces. Señalando los puntos M, N y T.

2. A continuación unimos el punto T con el extremo del segmento B.
3. Trazamos rectas paralelas a TB por los otros puntosM y N y obtenemos los puntos C y D en el
segmento AB.
4. Si observamos la figura es un sistema de rectas paralelas cortadas por dos secantes. Aplicamos el
teorema de Thales y tendremos:

y como AM = MN = NT tendremos
AD = DC = CB
con lo que hemos dividido el segmento AB en tres partes iguales.
2. División de un segmento en partes proporcionales. Vamos a dividir un segmento AB en dos
partesproporcionales a 2 y 3.

Para ello:

1. Trazamos una recta r cualquiera que pase por A y seguidamente llevamos sobre ella un segmento de 2
y otro de 3 unidades, obteniendo los puntos M y N.
2. Unimos N con B.
3. Por M trazamos una recta paralela obteniendo el punto C.
Hemos dividido el segmento AB en dos partes AC y CB, y aplicando el teorema de Thales tendremos:

luego los segmentos AC y CB están en...