proporciones y semejanzas

Proporciones y Semejanza

1
PROPORCIONES Y SEMEJANZA

LA RAZON entre dos cantidades es el cociente indicado entre ellas, la razón de a y b se
a
escribe
y se lee: a es a b.
b
a c
PROPORCION: Es la igualdad de dos razones.
, y se lee: a es a b como c es a d. a y c
b d
se llaman antecedentes, b y d se llaman consecuentes.
c y b se llaman medios; a y d se llaman extremos.
Cualquierelemento se llama cuarta proporcional entre las otras tres.
Cuando los medios o los extremos son iguales, se llama media proporcional.
x z
12 6
, x es la media proporcional entre y z;
; 6 es la media proporcional entre 12 y 3
y x
6 3
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES:
1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En una proporción se cumple que el producto de los
extremos es igual al producto de los medios.
ac
4 2
a b c d;
4 5 10 2
b d
10 5
2. En una proporción se pueden intercambiar los medios o los extremos y se obtiene otra
proporción
a c
a b 3 2
3 12
;
b d
c d 12 8
2 8
a c
d c 5 15
21 15
;
b d
b a 7 21
7
5
3. En cada proporción se pueden invertir sus elementos y nos da otra proporción.
a c
b d 2 6
3 9
;
b d
a c 3 9
2 6
a c
a b c d 7 14
7 5 14 10 12 24
4.
;
b db
d 5 10
5
10
5 10
a c
a b c d 7 14
7 5 14 10
2 4
5.
;
b d
b
d 5 10
5
10
5 10
a c e
a c e a
k
k
6.
b d
f
b d f b

Proporciones y Semejanza

2

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD.
Si se traza una paralela a un lado de un triangulo, determina segmentos proporcionales en
los otros dos lados.
HIPOTESIS: DE AB
A–D–CyB–E–C
TESIS:

CD
DA

CE
EB

1.Construcción

1. Sobre CD se toman n segmentos
congruentes de longitud a y sobre DA se
toman m segmentos congruentes de
longitud a
2. Se trazan paralelas por esos puntos a AB

2. Construcción

3. En CE se determinan n segmentos s de

3. De 2. Teorema fundamental de las
paralelas

longitud b y en EB se determinan m
segmentos congruentes de longitud b .
4. CD n a; DA m a; CE n b; EB
CDn a n
5.
DA m a m
CE n b n
6.
EB m b m
CD CE
7.
DA EB

m b 4. De 1 y 3. Adición de segmentos
5. De 4
6. De 4
7. De 5 y 6. Propiedad transitiva.

COROLARIO 1:
CA CB
DA CE
COROLARIO 2:
CA CB
DA EB
TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
Si una recta corta a dos lados de un triangulo y determina segmentos proporcionales en los
otros dos lados, entonces la recta es paralela al tercerlado. (Consultar su demostración)

Proporciones y Semejanza

3

TEOREMA DE THALES
Si tres o mas rectas paralelas son cortadas por dos transversales, entonces los segmentos
de una transversal son proporcionales a sus correspondientes en la otra.
HIPOTESIS: m n s
t1 y t2 son transversales
TESIS:

AB
DE

BC
EF

1. Trazamos DK t1 , tal que B – L – E y
C–K–F

1. Construcción2. EL KF
DE DL
3.
EF KL
4. ABLD y BCKL son paralelogramos

2. De 1 y de hipótesis
3. De 2. Teorema fundamental de la
proporcionalidad en DKF
4. De hipótesis y de 1. Definición de
paralelogramo
5. De 4. Los lados opuestos de un
paralelogramo son congruentes
6. Sustitución de 5 en 3

5. AB = DL y BC = KL
DE
EF
BC
7.
EF

6.

AB
BC
AB
DE

7. De 6. Propiedad de lasproporciones.

TEOREMA
En todo triangulo la bisectriz de un ángulo interno divide al lado opuesto en segmentos
proporcionales a los lados adyacentes.

HIPOTESIS: CD es bisectriz del ángulo ACB
A–D–B

TESIS:

AD
AC

1. Por B se traza BE , tal que BE DC ;

DB
BC

1. Construcción

Proporciones y Semejanza

4

BE y AC se cortan en E
2.

AD
AC

DB
CE

3.
4.
5.
6.
7. CE
8.AD
AC

BC

DB
BC

2. De 1. Teorema fundamental de las
proporciones en ABE
3. De 1. Por ser alternos internos entre
paralelas
4. De 1. Por ser correspondientes entre
paralelas
5. De Hipótesis. CD es bisectriz
6. De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva
7. De 6. En un triangulo a ángulos s se
oponen lados congruentes
8. Sustitución de 7 en 2

TEOREMA:
La bisectriz de un ángulo...