PROPOSICIONES

































Apuntes de L´ogica Matem´atica

1. L´ogica de Proposiciones


























Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez

C´adiz, Abril de 2005







Lecci´on 1



L´ogica de Proposiciones




Contenido

1.1 Proposiciones y Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
2

1.1.1
Proposici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

1.1.2
Valor de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

1.1.3
Proposici´on Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

1.1.4
Variables de Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
3

1.1.5
Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Conexi´on entre Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

1.2.1
Conjunci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

1.2.2
Disyunci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
5

1.2.3
Disyunci´on Exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

1.2.4
Negaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

1.2.5
Tautolog´ıas y Contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

1.2.6
Proposici´on Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
7

1.2.7
Proposici´on Rec´ıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

1.2.8
Proposici´on Contrarrec´ıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

1.2.9
Proposici´on bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3
Implicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
15

1.3.1
Implicaci´on L´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15

1.3.2 Implicaci´on L´ogica y Proposici´on Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

1.3.3 Implicaciones L´ogicas m´as Comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.4
Equivalencia L´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
18

1.4.1
Proposiciones L´ogicamente Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18

1.4.2 Equivalencia L´ogica y Proposici´on Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

1.4.3 Equivalencias L´ogicas m´as Comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21


Y ahora llegamos a la gran pregunta del porqu´e. El robo no ha sido elobjeto del asesinato, puesto que nada desapareci´o. ¿Fue por motivos pol´ıticos, o fue una mujer? Esta es la pregunta con que me enfrento. Desde el principio me he inclinado hacia esta ultima´ suposici´on. Los asesinatos pol´ıticos se complacen demasiado en hacer su trabajo y huir. Este asesinato, por el contrario, hab´ıa sido realizado muy deliberadamente, y quien lo perpetr´o ha dejado huellas portoda la habitaci´on, mostrando que estuvo all´ı todo el tiempo.

Arthur Conan Doyle. Un Estudio en Escarlata. 1887

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Universidad de C´adiz Departamento de Matem´aticas

La estrecha relaci´on existente entre la matem´atica moderna y la l´ogica formal es una de sus caracter´ısticas fundamentales. La l´ogica aristot´elica era insuficiente para la creaci´on matem´atica ya que la mayor parte delos argumentos utilizados en ´esta contienen enunciados del tipo “si, entonces”, absolutamente extra˜nos en aquella.

En esta primera lecci´on de l´ogica estudiaremos uno de los dos niveles en los que se desenvuelve la moderna l´ogica formal: la l´ogica de enunciados o de proposiciones.



1.1 Proposiciones y Tablas de Verdad

En el desarrollo de cualquier teor´ıa matem´atica se hacen...