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Distribucion poisson

DEFINICION:
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.
Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio aconocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles)
Propiedades [editar]

La función de masa de la distribución de Poisson es donde k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento sucedaprecisamente k veces).
λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
e es labase de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)
Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, eln-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.
La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.
La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es
Lasvariables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.

La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es



Intervalo de confianza [editar]

Un criterio fácil y rápido para calcular un intervalo de confianza aproximada de λ es propuesto por Guerriero (2012).1 Dada una serie de eventos k (al menos el15 - 20) en un periodo de tiempo T, los límites del intervalo de confianza para la frecuencia vienen dadas por:



entonces los límites del parámetro están dadas por:.

Relación con otras distribuciones [editar]

Sumas de variables aleatorias de Poisson [editar]
La suma de variables aleatorias de Poisson independientes es otra variable aleatoria de Poisson cuyo parámetro es la suma de losparámetros de las originales. Dicho de otra manera, si


son N variables aleatorias de Poisson independientes, entonces

.
Distribución binomial [editar]
La distribución de Poisson es el caso límite de la distribución binomial. De hecho, si los parámetros n y de una distribución binomial tienden a infinito y a cero de manera que se mantenga constante, la distribución límite obtenida esde Poisson.

Aproximación normal [editar]
Como consecuencia del teorema central del límite, para valores grandes de , una variable aleatoria de Poisson X puede aproximarse por otra normal dado que el cociente



converge a una distribución normal de media nula y varianza 1.

Distribución exponencial [editar]
Supóngase que para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el número desucesos de cierto fenómeno aleatorio sigue una distribución de Poisson de parámetro λt. Entonces, los tiempos discurridos entre dos sucesos sucesivos sigue la distribución exponencial.

Ejemplos [editar]

Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones...