Provabilidad y Estadistica

| 18 de Junio de 2011 |

Probabilidad y estadística
1. Se tienen los siguientes conjuntos:
U=1,2,3,…,11 A=1,2,4,5 B=2,5,7 C={1,3,7,9,11}
Por diagrama de Venn y por método de listado hallar:
a) U
A
B
1
4
7
2
5
U
A
B
1
4
7
2
5
A∩B=2,5 | b) A∩C=1U
U
A
A
C
C
4
4
7
7
2
2
3
3
9
9
11
11
5
5
1
1
| c) Ac=3,6,7,8,9,10,11U
A
1
45
2
3
6
7
81
9
10
11
U
A
1
4
5
2
3
6
7
81
9
10
11
|
d) Bc=1,3,4,6,8,9,10,117
7
U
U
B
B
5
5
2
2
1
1
3
3
4
4
61
61
8
8
10
10
11
11
9
9
| e) U
A
C
4
7
2
3
9
11
5
1
U
A
C
4
7
2
3
9
11
5
1
A\C=2,4,5 | f) U
A
B
1
4
7
2
5
U
A
B
1
4
7
2
5
A⨁B=1,4,7 |
g) 3
3
11
11
9
9
5
5
1
1
7
7
B
B
C
CA
A
4
4
2
2
U
U
A∪B\C=2,4,5 | h) 9
9
11
11
10
10
8
8
61
61
3
3
U
U
A
A
B
B
1
1
4
4
7
7
2
2
5
5
A∪BC=3,6,8,9,10,11 | i) U
B
C
1
2
5
7
U
B
C
1
2
5
7
11
11
3
3
9
9
B⨁C\C=2,5 |
2. El diagrama de Venn de la siguiente figura nos muestra los conjuntos A, B, C. Sombrear lo que se pide:
a) U
C
A
B
U
C
A
B

A∪B\C | b) U
UC
C
A
A
B
B
A c∩B∩C |
3. Entre 120 alumnos de la universidad, 40 eligen matemáticas, 50 biología, y 15 tanto matemáticas como biología. Hallar el número de estudiantes que:
(Se debe realizar diagrama de Venn y método de listado)

a) No eligen matemáticas. | 45
45
U
M
B
35
25
15
U
M
B
35
25
15
B\M∪M∪BC=35,45 |
b) Eligen matemáticas o biología. | 45
45
UU
M
M
B
B
35
35
25
25
15
15
M∪B=25,15,35 |
c) Eligen biología pero no matemáticas. | 45
45
B\M=35U
U
M
M
B
B
35
35
25
25
15
15
|
d) No matemáticas ni biología. | M∪BC=4545
45
U
M
B
35
25
15
U
M
B
35
25
15
|
4. Supongamos que n (A)=4 y n (B)=6. Hallar el número de elementos de:
a) A∙B=24 | b) B3=216 | c) B∙A∙B=144 |
5. Hallara) 10!/7! b) 12!/5!
10!7!=10∙9∙8∙7!7!=720 12!5!=12∙11∙10∙9∙8∙7∙6∙5!5!=3,991,680

6. Realizar el siguiente coeficiente binomial.
a) 118=11!8!11-8!=11!8!3!=11∙10∙9∙8!3!8!=9906=165
b)
7. Utilizando el triángulo de pascal realizar el siguiente binomio
a2+b3=a21b30+a20b31=a2+b3
8. Se escogen 3 cartas sucesivamente de una baraja de 52 cartas. Hallar elnúmero de formas en que esto se puede hacer.
a) Con reemplazamiento
b) Sin reemplazamiento
Solución:
a) nr=523=140,608
b) Pn,r=n!n-r!=52!52-3!=52!49!=52⋅51⋅50⋅49!49!=132,600

9. Una caja contiene 10 focos, hallar el numero N de muestras ordenadas de tamaño 3.
a) Con reemplazamiento
b) Sin reemplazamiento

Solución:
a) nr=103=1,000
a)Pn,r=10!10-3!=10!10-3!=10!7!=10⋅9⋅8⋅7!7!=720

10. Una clase se compone de 6 alumnos. Hallar el numero N de muestras de tamaño 4.
a) Con reemplazamiento
b) Sin reemplazamiento

Solución:
a) nr=64=1,296
b) Pn,r=6!6-4!=6!6-4!=6!2!=6⋅5⋅4⋅3⋅2!2!=360

11. Hallar el número de posibilidades que tiene un juez de conceder el primer, segundo y tercer premio en un concurso de 18 participantes.Solución:
a) Pn,r=18!18-3!=18!18-3!=18!15!=18⋅17⋅16⋅15!15!=4,896

12. Hallar el numero M de comités de 3 personas que se pueden formar en un grupo de 8, cada comité será esencialmente una combinación de 8 personas formadas de 3 en 3.

Solución:
a) nr=8!3!8-3!=8!3!⋅5!=8⋅7⋅6⋅5!3!⋅5!=3366=56

13. Un granjero compra 3 vacas, 2 cerdos y 4 gallinas a un hombre que tiene 6 vacas, 5cerdos y 8 gallinas. ¿Cuántas elecciones puede hacer el granjero?

Solución: (20) (10) (70)= 14,000
a) nr=6!3!6-3!=6!3!⋅3!=6⋅5⋅4⋅3!3!⋅3!=1206=20
b) nr=5!2!5-2!=5!2!⋅3!=5⋅4⋅3!2!⋅3!=202=10
c) nr=8!4!8-4!=8!4!⋅4!=8⋅7⋅6⋅5⋅4!4!⋅4!=1,68024=70

14. Hallar el numero N de maneras en que se puede dividir 9 juguetes entre 4 niños, si el menor recibe 3 juguetes y cada uno de los otros 2....