Proyecciones de vectores

PROYECCIONES.Si P es un punto y l es una recta, entonces la proyección del punto P sobre la recta l es el punto P’ en la base de la perpendicular trazada de P a l.

[pic]
Ahora ampliaremos la ideade proyección de un punto a una recta a la de un vector sobre otro vector.
La proyección de un vector sobre otro tiene múltiples aplicaciones en matemáticas y
  física. Para proyectar un vector[pic]sobre una recta l se proyectan los puntos inicial P y final Q de l,el vector [pic]’ es la proyección del vector [pic]sobre la recta l.
[pic]

Si seleccionamos un punto O como origen y si [pic]son los vectores localizados no nulos de A y B respectivamente, la proyección(vectorial) de [pic] sobre [pic] es el vector [pic] donde V es la proyección del punto A sobre la línea recta determinada porel origen O y el punto B. [pic] es un número real.
[pic]
[pic]
Dados los vectores fijos [pic] y [pic] no nulos es posible proyectar el vector [pic] sobre el vector [pic] y sobre un vectorfijo [pic]  perpendicular a [pic] como se indica en la figura.
 

[pic]

Como se observa en la figura [pic] ,donde [pic] es la proyección de [pic] sobre [pic] y [pic]  es la proyección ortogonal de [pic]sobre [pic].

TEOREMA 3.9(Propiedades de la proyección de un vector)

1. [pic] para algún escalar [pic] ([pic] es paralelo a [pic]. [pic])
2.[pic]
3.[pic]

Podemos definir el producto escalarde dos vectores libres [pic]  y [pic]  como el producto escalar [pic]  de sus correspondientes vectores coordenados. O de otra forma podemos usar la definición

[pic]

Sin tener en cuenta lascoordenadas, donde [pic] es el ángulo formado por [pic] y [pic] , no nulos.
[pic][pic]El ángulo [pic] formado por dos vectores libres [pic] y [pic] no nulos es el ángulo entre los vectores localizadosequivalentes. OA y OB respectivamente.
[pic]

Si [pic] o [pic] es un vector nulo, entonces al ángulo [pic] se le puede asignar cualquier valor entre 00 y 1800.
 
FÓRMULA PARA CALCULAR LA...