Proyecto De Ciencias

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I.T.I. GESTION
´ CON LA SOLUCION FINAL DE LOS EJERCICIOS
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BOLETIN

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CALCULO NUMERICO
CURSO 2004-05

3. Interpolaci´n polinomial
o

1. Hallar el polinomio interpolador de Lagrange de la funci´n f (x) = 2(x−1) en el soporte S = {0, 1, 2, 3}
o
Obtener la funci´n del error y acotar el error cometido si usamos P(3/2) para aproximar f(3/2).
o
2. Se tienen tres puntosalineados en un terreno en el que hay una bolsa de petr´leo. Est´n separados
o
a
100 m. unos de otros, en el primero de ellos el petr´leo est´ a 180 m. de profundidad, en el segundo a
o
a
220 m. y en el tercero a 280 m. ¿ A qu´ profundidad podemos estimar que encontraremos el petr´leo
e
o
si perforamos en un punto tambi´n alineado con los dem´s y situado a 40 m. del primero de ellos? ¿
e
aCon los datos que tenemos, podemos pensar en encontrar alg´n punto interior de la l´
u
ınea en el que el
petr´leo est´ a menos profundidad?
o
e
3. Hallar una funci´n polin´mica de tercer grado que aproxime la funci´n f (x) = ex cos(x) en el intervalo
o
o
o
I = [0, 3]. Usa el m´todo de Diferencias Divididas.
e
Calcula la derivada tercera de f y ac´tala en I.
o
4. Hallar el polinomiointerpolador por Diferencias Divididas de cierta funci´n f (x) definida por la tabla
o
siguiente,
xi -3 -1 0 1 4 5 6
yi -2 0 1 0 3 -1 4
5. Hallar el polinomio interpolador por Lagrange de la funci´n f (x) = sen(x) a partir de los datos
o
siguientes,
xi
yi

0
0

π
6
1
2

π
2

1

3π
4
√
2
2

π
0

Estimar el valor de sen(75) , 75 grados, usando el polinomio interpolador.Acotar el error.

3. Integraci´n num´rica
o
e

1

3

x
3
6. Sabemos que 0
0.3561944902, aproxima su valor utilizando la f´rmula de los
o
2−x dx = −2 + π 4
Trapecios con n = 4 y acota el error cometido compar´ndolo con el valor exacto exacto.
a

2π

7. Calcular 0 ecos(x) dx, utilizando la f´rmula de los Trapecios con n = 8 y acota el error cometido.
o
Determina el n´mero m´u
ınimo de partes necesarias para garantizar un error menor que una cent´sima.
e
2π cos(x)
Observa los resultados obtenidos y compara sabido que 0 e
dx = 7.954926
7

8. Usar la f´rmula de los trapecios para aproximar el valor de 2 x2 log (x)dx, con n = 5 y acota el error
o
cometido. Calcula el n´mero de partes necesarias para garantizar un error menor que una cent´sima.
u
e

C.N.Ingeniero T´cnico en Inform´tica de Gesti´n Curso 2004-05
e
a
o

2

0.4

9. Usar la f´rmula de Simpson para aproximar el valor de 0.2 e3x cos(2x)dx, con n = 4 y acota el error
o
cometido. Si el valor exacto (con todas sus cifras exactas) es 0.403760 compara el resultado de la
acotaci´n.
o
10. Con n = 4 usar la f´rmula los Trapecios y de Simpson para aproximar el valor de
o
y acotael error cometido en cada caso.

2π
0

cos(cos(x))dx

11. Usar la f´rmula los Trapecios con n = 7 y de Simpson con n = 4 para aproximar el valor de
o
π
ecos(x) cos(sin (x))dx , compara los resultado con el valor exacto 6.283185 Acota la derivada se−π
gunda del integrando y compara la cota del error en el caso de los Trapecios con el error exacto.
12. Queremos cubrir una cochera contecho ondulado comprimiendo una l´mina plana de aluminio. La
a
anchura de las placas es perfecta para nuestro prop´sito pero con la longitud no lo tenemos claro por
o
lo que necesitaremos algunos c´lculos. Cada onda debe tener una altura de 2 cm sobre la l´
a
ınea central
y un periodo de 4π 12.566371 cm. Calcula la longitud de placa que debo cortar para cubrir cada
uno de esos periodos.Primero lo haremos por los Trapecios y luego por Simpson con n = 4 en ambos casos, despu´s para
e
n = 8 tambi´n por los dos m´todos.
e
e
Observa el comportamiento en cada caso sobre todo si comparamos con el resultado ”exacto” L =
15.280791 cm y si aportamos el dato que tanto la derivada segunda como la cuarta del integrando son
en valor absoluto menor que una unidad, analiza las cotas de los...