Prueba de fuego

UNIDAD 01

SEMANAS 01_02

MATEMATICA II

Matrices
EJERCICIOS APLICATIVOS 1. Halle x + y + z, si A = B

7. Consideramos las siguientes matrices:
⎡1 2⎤ A = ⎢3 4⎥ , ⎥ ⎢ ⎢5 6⎥ ⎦ ⎣ ⎡2 − 1⎤ B = ⎢3 2 ⎥ , ⎥ ⎢ ⎢0 1 ⎥ ⎦ ⎣ ⎡ 4 2⎤ C = ⎢ 11 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢ − 2 4⎥ ⎦ ⎣

Siendo A =

⎡x − y ⎢ ⎣ 3

z − 1⎤ ⎡2 ⎥; B = ⎢ 3 x ⎦ ⎣

y + 4⎤ 4 ⎥ ⎦

Calcule: a) A + B c) (A + B) + C

b) A – B d) (A – B) + C2.

Escriba explícitamente la matriz A y halle
A-2B

A= a i j

[ ]

si i < j ⎧ i, ⎪ si i = j / ai j = ⎨ i+ j, 3x2 ⎪ j, si i > j ⎩
− 1⎤ ⎡1 ⎥ , B = ⎢2 3 ⎦ ⎣
2

⎡1 3 ⎤ B = ⎢2 5⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 2⎥ ⎣ ⎦
1⎤ 4⎥ ⎦

8. Si:

2 − 1⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎡1⎤ ⎢2 ⎥ ⎢ y⎥ = ⎢ 5 ⎥ 0 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢− 3 − 1 0 ⎦ ⎢ z ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢− 3⎥ ⎣ ⎣ ⎦

Calcule E = x + y + z 9. Halle x, y, z, si
⎡1 2 0⎤ ⎡X ⎤ ⎡1⎤ ⎢0 1 5 ⎥ ⎢ Y ⎥ = ⎢ 5⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 0 1⎥ ⎢ Z ⎥ ⎢2⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡2 3. Si A = ⎢ ⎣2
2

Halle : a ) A + 2 AB + B

b)( A + B)

2

4. Dadas las matrices A, B y C, donde:

⎡− 1 A=⎢ ⎣7

0 −2

5⎤ 0⎥ ⎦

7 0⎤ ⎡1 B = ⎢ − 3 − 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢3 0 5⎥ ⎣ ⎦

10.

Dadas las matrices: ⎡ 3 2 − 1⎤ A = ⎢ 2 5 − 3⎥ , B = [x y ⎥ ⎢ ⎢− 1 0 1 ⎥ ⎦ ⎣
C = [1 − 2 3] Si BA = C , halle E = xyz

z]

y

⎡− 1 − 1⎤ C=⎢2 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢04⎥ ⎣ ⎦
Verificar que (AB) C = A (BC)

5. Dadas las matrices A, B y C donde:
⎡1 1 1 ⎤ ⎡1 1 1⎤ ⎡1 1 2 ⎤ A = ⎢2 − 1 2⎥ B = ⎢2 1 1⎥ C = ⎢2 1 4⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢0 0 0⎥ ⎢3 − 1 1⎥ ⎢3 − 1 2⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

11. Consideramos las siguientes matrices:

i.

⎡1 A=⎢ ⎢ ⎢0 ⎣

3⎤ ⎥, ⎥ 2⎥ ⎦

⎡0 − 1⎤ ⎥ B=⎢ ⎥ ⎢ ⎢1 1 ⎥ ⎦ ⎣ ⎤ ⎡− 2 6 ⎥, D=⎢ 0 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4 −1 ⎦ ⎣ 8⎤ − 3⎥ ⎥ 4⎥ ⎦

Verificar que AC = BC 6. Siii.

x + 2 y⎤ ⎡ x y ⎤ ⎡3 y 6 ⎤ ⎡ 4 ⎢ z w ⎥ = ⎢ − 1 2 w⎥ + ⎢ z + w z ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
halle x + y + z + w

⎡3 2 4 C=⎢5 1 0 ⎢ ⎢− 3 0 1 ⎣

a) Calcule A − B

b)Calcule C.D

12. Sean las matrices

EJERCICIOS PROPUESTOS

z −1 ⎤ ⎡2 x + 1 2 ⎢ x + 2 −1 A=⎢ 2y ⎥ ⎥ ⎢ y −1 8 x − 2z⎥ ⎣ ⎦

⎡3 − 2 y 2 x + y ⎤ B = ⎢ z + 3 − 1 z − 2 x⎥ ⎢ ⎥ ⎢ z −5 8 −1 ⎥ ⎣ ⎦

1.

Escriba explícitamente lassiguientes matrices y halle AB.

a) A = aij
Si A = B, Halle el valor de xyz.
13. Halle x + y, si A = B

[ ](

3 x3)

/ aij = 2i + j / bij = i − 2 j

b) B = bij
y + 4⎤ 4 ⎥ ⎦
2.

[ ](

3× 4 )

Siendo

⎡x − 2 y A=⎢ ⎣ 3

x ⎤ ⎡2 ⎥; B = ⎢ 3 x − y⎦ ⎣

Escribe explícitamente la matriz B y halle

BD 2
Si B = b

[ ]
ij

3x2

/bi j

14. Dadas las matrices

⎧ i − j, ⎪ = ⎨ i +j, ⎪ j −i, ⎩

si i < j si i = j si i > j

⎛ 0 ⎜e ⎜ A = ⎜ 23 ⎜ ⎜ 5 ⎝

9

k−

1 2

1 t

⎞ 4 ⎟ ⎟ a ⎟ k − 1⎟ ⎟ ⎠
2 −1

,

⎛1 ⎜ B = ⎜n ⎜5 ⎝

3 k3 0

2 ⎞ ⎟ − 1⎟ m⎟ ⎠

D=

⎡1 − 2 ⎤ ⎢2 3 ⎥ ⎣ ⎦
Se tienen las matrices:

3.

Calcule el valor de k + m para que las matrices sean iguales

M = [1

0

0

2

−3

]

⎡0 ⎤ ⎢− 1 ⎥ ⎢ ⎥ N = ⎢ − 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − 2⎥ ⎢− 3 ⎥ ⎣ ⎦

15.Sea M=N

Halle NM

−2 ⎤ ⎡x + y 2 ⎢ 0 M =⎢ 4 x + z⎥ ⎥ ⎢ 3 2n − 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ −2 N=⎢ 0 ⎢ ⎢3 27 ⎣ 2 y+z 100 − 2⎤ 6⎥ ⎥ m⎥ ⎦

,

4. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) b)

⎡2 x ⎢2 x ⎣ ⎡x − ⎢x + ⎣

y⎤ ⎡ 4 ⎤ = − 3 y ⎥ ⎢ − 4⎥ ⎦ ⎣ ⎦ y 3u + v ⎤ ⎡3 = y u − 2v ⎥ ⎢ 4 ⎦ ⎣

+

0⎤ 1⎥ ⎦

c) d)

Calcule: E=

z+x ( ) −y
5.

⎡ x2 3 y ⎤ ⎡4 16⎤ =⎢ ⎢ ⎥ 2⎥ 2u (v + 1) ⎦ ⎣1 9 ⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ 4 w + 2⎤⎡x − 2 ⎢ 1 ⎥ = ⎢1 − z 0 ⎥ y + 1⎦ ⎣ ⎣ ⎦

Sean A y B matrices cuadradas tales que AB = I

Si

⎡ 5 0 0⎤ A = ⎢a 6 0⎥ , halla B = ? ⎢ ⎥ ⎢b c 1 ⎥ ⎣ ⎦

6.

Si la matriz

⎡ 1 ⎢ B=⎢ 2 ⎢− 3 ⎢ 2 ⎣
Demuestre que

3⎤ ⎥ 2 ⎥ 1 ⎥ 2 ⎥ ⎦

11.

Si

1 ⎤ ⎡ 0 a+b ⎢− 3 M=⎢ 0 2b − a ⎥ ⎥ ⎢−1 9 0 ⎥ ⎣ ⎦ 0⎤ 0 0⎥ , halla la matriz ⎥ − b 0⎥ ⎦ 0

es

una

matriz anti simétrica y

BB t = I

⎡0 N=⎢a⎢ ⎢b 2 ⎣

P = M.N – 3I

7.

Dadas las matrices

⎡3 A=⎢ ⎣2
Calcule

2⎤ 1⎤ ⎡1 ⎥ , D = ⎢2 − 1⎥ 2⎦ ⎣ ⎦

12. En la ecuación: , si DX=A triangular superior

A ⋅ A T = 2B

donde A es matriz

(X − D D t ) + A2

⎡5 y B = ⎢3 ⎢0 ⎣

3 0⎤ 2 0⎥ 0 2⎥ ⎦

Calcula la matriz A (considera soluciones positivas). 8. Si

b−a 2 ⎤ ⎡ 1 ⎢ 0 A=⎢ 5 − b⎥ ⎥ ⎢b + x a + x − 5⎥ ⎣ ⎦

13. Si

⎡2...