Prueba Irracionalidad De Pi

Divulgaciones Matem´ticas Vol. 16 No. 2 (2008), pp. 299–326 a

π desde sus bases
π from its foundations Douglas Jim´nez (dougjim@cantv.net) e
Secci´n de Matem´tica o a Universidad Nacional Experimental Polit´cnica e Antonio Jos´ de Sucre e Vicerrectorado de Barquisimeto Barquisimeto, Venezuela
Resumen Todo estudiante de matem´tica responde de inmediato las preguntas a b´sicas acerca de π: elarea del c´ a ´ ırculo, la longitud de la circunferencia, la irracionalidad de π y sus aproximaciones decimales. Sin embargo, muy pocos de ellos han visto una demostraci´n rigurosa de cualquieo ra de las respuestas. Este art´ ıculo muestra las cuatro respuestas con un lenguaje adaptado a las notaciones modernas, pero respetando el esp´ ıritu hist´rico con el cual fueron expuestas por vez primera.Asimismo se o da el cr´dito correspondiente a los matem´ticos que las produjeron. e a Palabras y frases clave: π, principio de Arqu´ ımedes, pol´ ıgonos regulares inscritos y circunscritos, area del c´ ´ ırculo, longitud de la circunferencia, irracionalidad, aproximaciones decimales.

Abstract Every math student knows the basic questions about π and can answer them inmediately: area of thecircle, length of the circumference, π is irrational and its decimal approximations. However, very few of these students have seen a rigurous proof of the mentioned answers. This article shows the four answers with a language that follows the modern notations, but preserving the historical spirit of their first expositions. Also, the authors of the answers are credited. Key words and phrases: π,Archimedes principle, inscribed and circunscribed regular polygons, area of the circle, length of the circumference, irrationality, decimal approximations.
Recibido 2008/09/04. Aceptado 2008/12/15. MSC (2000): Primary 51-01; Secondary 51-03, 01-01.

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Las primeras preguntas acerca de π
Hay algunas preguntas que un estudiante de matem´tica (o de carreras que de a ellarequieran, como la ingenier´ por ejemplo) contesta apenas se le formulen. ıa Entre otras, podr´ ıamos escoger las cuatro siguientes (con sus respuestas): 1. ¿Cu´l es el ´rea de un c´ a a ırculo? R. A = πr2 . 2. ¿Cu´l es la longitud de una circunferencia? a R. L = 2πr. 3. ¿Es π un n´mero racional o irracional? u R. π es irracional. 4. ¿Cu´l es el valor decimal de π? a R. π = 3, 14 . . .. Sin embargo, lagran mayor´ quedar´ muda cuando le pregunten: ¿Has ıa a visto la demostraci´n de alguna de estas respuestas? Realmente es asombroso: o el estudiante puede decir cosas tan avanzadas de π como que eπi + 1 = 0 o manejarlo en ambientes tan extra˜os a su origen como la teor´ de la proban ıa bilidad y, sin embargo, desconocer las bases que sustentan la existencia y la naturaleza de este tanomnipresente numerito. Evidentemente, muchos se interrogan al respecto desde muy temprano y no faltar´ quien ensaye respuestas tomadas de conocimientos b´sicos. Por a a ejemplo, cuando o´ ımos la tan manida frase “la integral es el ´rea bajo la a curva”, no podemos esperar hasta estar en capacidad de calcular
r

r2 − x2 dx,
−r

para lo cual, luego del aprendizaje de los m´todos de c´lculo deantiderivadas, e a nos sentimos harto felices de escribir √ r r x r 2 − x2 r2 x 1 r2 − x2 dx = + arc sen = πr2 . 2 2 r 2 −r
−r

¡Listo! ¡Problema resuelto! Pero... ¡siempre hay un pero! ¿De d´nde sali´ π en el c´lculo anterior? o o a Bueno... de π arc sen(±1) = ± , 2
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que no significa nada distinto a que uncuarto de arco de la circunferencia unitaria mide π/2... es decir, que la circunferencia unitaria mide 2π... ¡lo cual no es otra cosa que volver al principio! En otras palabras: estamos dando vueltas en c´ ırculo. Pues... nada m´s propio de π que hacernos dar vueltas en a c´ ırculo... Lo que sucede es que la trigonometr´ est´ montada sobre la base ıa a del conocimiento de π, y la integral anterior...