pruebas de sistema

Universidad Autónoma de Chihuahua
Facultad de Ingeniería

Matemáticas Discretas
Semigrupos y Grupos
Maestro: Lic. Blanca Patricia Guerrero Martínez
Alumno: Jesús Alberto Anderson Olivas
Matrícula: a257348
Tabla de contenido

Operaciones Binarias……………………………………. 3
-Concepto…………………………………………………….3
-Propiedades……………………………………………….3

Conceptos sobre Semigrupos…………………………… 3-Ejemplos………………………………………………………..3,4

Productos y cocientes de Semigrupos………………… 4
-Ejemplos………………………………………………………….4.5


Homomorfismo……………………………………. 5

Grupos……………………………………………………………..5
-Ejemplos……………………………………………………5,6


Productos y cocientes de grupos…………………… 6
-Ejemplos…………………………………….6,7,8


Bibliografía …………………………………………. 9
Operaciones Binarias
Concepto:
Una operaciónbinaria en un conjunto A es una función f: AxAA. Las operaciones aritméticas usuales son ejemplos de operaciones binarias en conjuntos de números. Las operaciones de suma de vectores, de suma y producto de matrices son operaciones binarias en conjuntos adecuados.
Propiedades:
Si f es una operación binaria en A decimos que:

f es conmutativa si y sólo si f(x,y)= f(y,x) para todo par deelementos x, y en A.
f es asociativa si y solo si f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z)) para x, y, z elementos de A.
f tiene elemento identidad si existe un elemento e en A tal que f(e,x)= f(x,e)=x para todo x en A.
si f tiene elemento identidad e entonces un elemento x de A tiene elemento inverso ante f si existe y en A tal que f(x,y)=f(y,x)=e.

Es costumbre denotar a las operaciones binarias de manera análogaa la forma como se denotan las operaciones aritméticas usuales, ello es usando algún símbolo, como que se escribe entre los dos argumentos de la función f; por ejemplo f(x,y)= xy.

Semigrupos

Concepto:
Un semigrupo es un conjunto no vacío S junto con una operación binaria asociativa * definida en S. Se denotará el semigrupo como (S,*), o bien, si queda claro cuál es la operación *, sólocomo S. También se hará referencia a a*b como el producto de a y b, semigrupos (S,*) es conmutativo si * es una operación conmutativa.

Ejemplo I: El conjunto P(S), donde S es un conjunto, junto con la operación de unión. Es un semigrupo conmutativo.

Ejemplo II: El conjunto Z con la operación binaria de resta no es un semigrupo, pues la resta no es asociativa.

Ejemplo III: Sea S un conjuntofijo no vacío, y sea Ss el conjunto de todas las funciones f: SS. Si f y g son elementos de Ss, Se define f*g como fºg, la composición. Entonces * es una operación binaria sobre Ss. Por lo tanto (Ss,*) es un semigrupo. El semigrupo Ss no es conmutativo.

Ejemplo IV: Sea A={a1,a2,…,an} un conjunto no vacío. Donde A* es el conjunto de todas las secuencias finitas de elementos de A. Es decir, A*consta de todas las palabras que es posible formar con el alfabeto A. Sean a y β elementos de A*. Observe que la concatenación es una operación binaria sobre A*. Entonces si a1,a2.., an y β=b1b2…bk entonces a β=a1 a2… an b1 b2…bk. Es fácil ver que si a, β y γ son elementos de A*, entonces: a( βγ)=(aβ)γ de modo que  es una operación binaria asociativa y (A*,) es un semigrupo llamado semigrupolibre generado por A.

Ejemplo V: (Z,+) es un semigrupo conmutativo. ((Z,+),se define a*b como a-b)
Productos y cocientes de semigrupos
Teorema 1
Si (S,*) y (T,*’) son semigrupos entonces (S X T, *”) es un semigrupo, donde *” se define como (s1,t1)*” (s2, t2) = (s1* s2, t1*’ t2)
Teorema 2
Sea R una relación de congruencia sobre el semigrupo (S,*). Considérese la relación de * S/R X S/R enS/R en la que la pareja ordenada ([a],[b]) se relaciona con [a*b], donde a y b están en S.* es la función de S/R X S/R en S/R, y como es usual denotaremos *([a],[b]) por [a]*[b] = [a*b](S/R,*) es un semigrupo

Teorema 3
Sea R una relación de congruencia sobre un semigrupo (S,*) y (S/R, *) el semigrupo cociente correspondiente.
Entonces la función fr:S/R definida por fr(a)= [a]
Es un...