PS4 solucion

Master en Economia
Macroeconomia II
Profesor: Danilo Trupkin
Problem Set 4 - Solucion

1

El Modelo de Crecimiento Optimo Estocastico

Considere el modelo de crecimiento con incertidumbre, tal como fue descripto en clase.
Es decir, suponga que el agente representativo elige la secuencia {ct , kt+1 }∞
t=0 de modo de
maximizar
∞

β t ln(ct )

E0
t=0

s.a.

kt+1 = At ktα − ct
ln At = ρA ln At−1 + ξt ; ξ t ∼ i.i.d.N (0, σ 2 )
k0 > 0, A0 > 0 dados

1. Escriba la Bellman equation del problema.
La siguiente es la ecuacion de Bellman, expresando el consumo como funcion del capital
a traves del uso de la restriccion de recursos:
V (kt , At ) = max{ln(At ktα − kt+1 ) + βE[V (kt+1 , At+1 )|At ]}
kt+1

2. Halle e interprete la ecuacion de Euler del problema.
De la condicion de primer orden delproblema, i.e., derivando respecto a kt+1 , surge que
−

1
∂V (kt+1 , At+1 )
+ βEt
= 0.
ct
∂kt+1

(1)

De la Benveniste-Scheinkman condition, tenemos
∂V (kt , At )
1
= αAt ktα−1 ,
∂kt
ct
lo que implica que
∂V (kt+1 , At+1 )
1
α−1
=
αAt+1 kt+1
.
∂kt+1
ct+1

1

(2)

Sustituyendo (2) en la condicion de primer orden (1), tenemos finalmente la Euler
condition:
1
1
α−1
= βEt
αAt+1 kt+1
.
ct
ct+1
Estaecuacion nos dice que el agente habra invertido hasta el punto en que este indiferente entre una unidad consumida hoy (que le brinda un beneficio de 1/ct en terminos
de utilidad) y una unidad invertida en capital (que le brinda un beneficio en terminos
de utilidad dado por el producto marginal del capital descontado y esperado al periodo
siguiente).
3. Muestre que V (kt , At ) = E + F ln kt + G ln At essolucion del problema, donde E, F, y
G son constantes que debe hallar a traves del metodo de coeficientes indeterminados.
Sabemos que las funciones optimas del problema estocastico no difieren de las funciones
halladas en el problema deterministico, excepto que ahora el ingreso yt es funcion tambien
de la variable At (conocida al momento de tomar la decision en t). Dado esto ultimo,
tenemos quekt+1 = αβAt ktα ,
ct = (1 − αβ)At ktα .
Por otro lado, sabemos que
Et (ln At+1 ) = Et (ρA ln At + ξ t+1 ) = ρA ln At .
Usamos estos resultados en la Bellman equation del problema original (para lo cual
asumimos como cierto el guess de V ), e igualamos dicha ecuacion al guess del enunciado.
Es decir, para todos kt , At se debe cumplir la condicion siguiente:
V (kt , At ) = ln[(1 − αβ)At ktα ] + βE +βF ln(αβAt ktα ) + βGρA ln At = E + F ln kt + G ln At
De aqui que
ln(1 − αβ) + βE + βF ln(αβ) = E,
α + αβF

= F,

1 + βF + βGρA = G,

2

lo que implica finalmente que
F

=

G =
E =

2

α
1 − αβ
1
(1 − αβ)(1 − ρA β)
1
βα
ln(1 − αβ) +
ln(αβ)
(1 − β)
1 − αβ

Un Modelo RBC Simplificado con Shocks Tecnologicos
Aditivos

Considere una economia con poblacion constante de agentes con horizonte infinito.El
∞
t=0

agente representativo maximiza su lifetime utility esperada descripta por
ρ > 0. Asuma que la funcion de utilidad instantanea es u(ct ) =

ct − θc2t ,

1
1+ρ

t

u(ct ),

θ > 0, suponiendo

que c se encuentra siempre en el rango donde u (c) > 0.
El output es lineal en capital, mas un shock aditivo: yt = Akt + et . No hay depreciacion;
entonces kt+1 = kt + yt − ct , y asumimos que latasa de interes es A = ρ. Finalmente, el
shock sigue un proceso AR(1) : et = ρe et−1 + ξ t , donde −1 < ρe < 1 y los ξ t son shocks
i.i.d. de media cero.
1. Encuentre la condicion de primer orden que relaciona ct con ct+1 esperado (la ecuacion
de Euler).
La Bellman equation del problema se puede escribir como
V (kt , et ) =
s.a.

max {ct − θc2t + βE[V (kt+1 , et+1 )|et ]}

ct ,kt+1

kt+1 = kt + Akt +et − ct = (1 + A)kt + et − ct

donde β ≡ 1/(1 + ρ)
De la restriccion de recursos, se puede expresar el consumo como
ct = (1 + A)kt − kt+1 + et .

(3)

Luego, la condicion de primer orden respecto a kt+1 (habiendo sustituido ct por su
expresion en (3)), implica
−(1 − 2θct ) + βEt

∂V (kt+1 , et+1 )
= 0.
∂kt+1

3

(4)

Aplicando la Benveniste-Scheinkman condition, tenemos
∂V (kt , et )
= (1 −...