PyE T5

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Notas de clase

A. Leonardo Bañuelos Saucedo
Nayelli Manzanarez Gómez

TEMA V
VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS
INTRODUCCIÓN

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo 5.1
Considérese el lanzamiento de dos dados.
El espacio muestral es

En los capítulos anteriores se estudiaron variables aleatorias unidimensionales; es decir,
se estudió cada variable de maneraindependiente; sin embargo, en muchas ocasiones es
necesario estudiar dos o más características (variables) de un experimento. En cualquier
sistema físico, económico o social, que se estudie a través de modelos aleatorios, pueden
existir varias variables, y debido a la interrelación entre ellas, deben estudiarse modelos
que describan el comportamiento probabilístico conjunto de dichas variables.Definición 5.1
Si

son variables aleatorias definidas sobre un

mismo espacio muestral, dichas variables aleatorias reciben el nombre
de VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS.
Así como se dijo en el tema anterior, que una variable aleatoria responde a una
pregunta de interés en un fenómeno, las variables aleatorias conjuntas se puede decir que
representan varias características (o responden a varias preguntas)de interés en un
mismo fenómeno. Y al igual que en el tema anterior, existen variables aleatorias
conjuntas discretas y continuas.

Si interesa el resultado del primer dado y la suma de los puntos en los dos
lanzamientos, entonces
Sea
:
El resultado del primer lanzamiento
:

La suma de los resultados de los dos lanzamientos.

VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS DISCRETAS
La función de probabilidadconjunta para
Definición 5.2
Si

y para

siguiente forma:
son variables aleatorias conjuntas discretas, se

define su función de probabilidad conjunta como:

Es bastante común utilizar

para denotar la función de probabilidad

conjunta; sin embargo, aquí se prefiere la notación

, puesto que también es una

función y facilita la generalización de diversas expresiones.
Anotando las probabilidades enuna tabla se tiene:
En particular si

)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S. / N.M.G.

se construye de la

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Tema V

Pág. 2

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD CONJUNTA

Si
,
son dos variables aleatorias conjuntas discretas. Su función de probabilidad
conjunta tiene las siguientes características:
1)

2)

3)
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DEPROBABILIDAD CONJUNTA
Al igual que para las variables aleatorias unidimensionales, lo más común es dibujar
rectas verticales cuya altura representa la probabilidad, también se pueden dibujar los
puntos; sin embargo, como puede observarse, la lectura de una gráfica de una función
de probabilidad conjunta se complica un poco y sólo puede hacerse para el caso de dos
variables.

FUNCIONES DE PROBABILIDAD:M ARGINAL Y CONDICIONAL

Si
y
son dos variables aleatorias conjuntas discretas, entonces se pueden hacer
las siguientes definiciones.
La función de probabilidad marginal de
al margen de

)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S. / N.M.G.

) como

( función de probabilidad de

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Tema V

Pág. 3

Resolución

La función de probabilidad marginal de
margende

( función de probabilidad de

al

) como

La función de probabilidad condicional de

dado que

es:

La función de probabilidad condicional de

dado que

es:

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo 5.2
Para la función de probabilidad conjunta discreta estudiada anteriormente, del
lanzamiento de dos dados, obtener las marginales.

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S. / N.M.G.

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Tema V

Pág. 4

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo 5.3
Cierto artículo se fabrica en dos líneas de producción diferentes. La capacidad
en cualquier día dado para cada línea es de dos artículos. Supóngase que el
número de artículos producidos por la línea uno en un día cualquiera es una
variable...