Quantum Mechanics

Capítulo 5. Oscilador armónico
5.1. Oscilador armónico unidimensional
5.1.1. Reescalamiento
5.1.2. Solución en series
5.1.3. Valores propios
5.1.4. Normalización
5.1.5. Elementos de matriz
5.2. Operadores de creación y de aniquilación
5.2.1. Ecuación de valores propios
5.2.2. Función propia del estado basal

(

)

Anexo 5.1. Comportamiento asintótico de u ′′ + λ − ξ 2 u = 0
Anexo5.2. Polinomios de Hermite, H n (ξ )

5. Oscilador armónico
El estudio de las oscilaciones tiene gran importancia en la mecánica cuántica. Las
oscilaciones armónicas se usan como modelo para describir las interacciones que
presentan una posición de equilibrio y, en particular, son el modelo más usado para
estudiar vibraciones.

5.1. Oscilador armónico unidimensional
Un oscilador armónicose carateriza por un fuerza que es proporcional al
desplazamiento, respecto a la posición de equilibrio. Por lo tanto, para este sistema se
tiene un potencial cuadrático, V ( x ) = 1 kx 2 . En este caso, la ecuación de valores propios
2
de la energía, Hu E = Eu E , toma la forma

d 2 uE 1
−
+ mω 2 x 2 u E = Eu E ,
2
2 m dx
2
2

en donde ω 2 ≡ k m , así,

uE −
′′

m 2ω 2
2

x2 uE = −

2 mE
2

uE .

5.1.1. Reescalamiento
Esta ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes polinomiales presenta
varias combinaciones de constantes que pueden eliminarse mediante un cambio de
escala (reescalamiento). Sea ξ ≡ αx la nueva variable independiente, con α > 0 ,
entonces

d
dξ d
d
ξ
=
=α
y uE ( x ) = uE
= u(ξ ) . Mediante esta transformación la
dx dxdξ
dξ
α

ecuación diferencial toma la forma

u ′′ −
en donde λ ≡

5-2

mω

2

2 mE
2

α

2

ξ 2u
= −λ u ,
α4
> 0 . Si se elige α de tal forma que

mω

α2

= 1 , entonces

u ′′ − ξ 2 u = − λ u ,
con α =

mω

y E=

1
2

ωλ .

5.1.2. Solución en series
Para resolver la ecuación diferencial con coeficientes variables se usa el método de
Frobenius (métodogeneralizado de serie de potencias). En este método se propone una
solución en series de la forma

u(ξ ) = ξ

∞
s

C jξ j =

j =0

∞

Cjξ

s+ j

,

j =0

en donde C0 ≠ 0 . Al sustituir el serie en la ecuación diferencial se tiene que

0 = C0 s( s − 1)ξ −2 + C1 ( s + 1) sξ −1 + (C2 ( s + 2)( s + 1) + C0 λ )
+(C3 ( s + 3)( s + 2) + C1 λ )ξ +

∞
j =2

[C

j
j + 2 ( s+ j + 2 )( s + j + 1) − C j − 2 + C j λ ]ξ

,

y al igualar los polinomios se obtienen las relaciones siguientes,

C0 s( s − 1) = 0 ,
C1 s( s + 1) = 0 ,
C2 ( s + 1)( s + 2) + λC0 = 0 ,
C3 ( s + 2)( s + 3) + C1 λ = 0 ,
C j + 2 (s + j + 1)(s + j + 2) − C j − 2 + λC j = 0 , ( j = 2,3,

).

A la primera ecuación se le denomina ecuación indicial y permite determinar los
valores de s ,en este caso se tiene que s = 0,1 . Debido a que se tiene un potencial
simétrico, las funciones propias deben tener paridad definida, pero, por la forma de la
serie de potencias, el factor que aparece fuera de la suma tiene la misma paridad que el
parámetro s , por lo que la suma debe ser par. Por esta razón, C1 = 0 , al igual que todos
los coeficientes impares. Los coeficientes pares seobtienen a partir de las relaciones de
recurrencia,

5-3

λ C0

C2 = −

Cj + 2 =

( s + 2)( s + 1)

,

C j − 2 − λC j

(s + j + 2)(s + j + 1)

( j = 2,4,6, ) .

,

Esta ecuación diferencial genera una relación recursiva de tres términos, para la cual
no es posible obtener una solución cerrada de los coeficientes. Por esta razón es
necesario transformarla.
Una posibilidadconsiste en separar su comportamiento asintótico (ver Anexo 5.1).
Para valores grandes de |x| , u ′′ ~ ξ 2 u , por lo que la solución debe tener la forma

u ~ e −αξ . Así, u ′ = −2αξ e −αξ y
2

2

[

]

[

]

0 = u ′′ − ξ 2 u + λu = e −αξ 4α 2 ξ 2 − ξ 2 − 2α + λ ~ e −αξ 4α 2 − 1 ξ 2
2

2

por lo que 4α 2 = 1 , o bien α = ± 1 . Sólo para α negativa se tiene una solución
2...