Radiación Electromagnetica

PROPAGACION Y RADIACION
ELECTROMAGNETICA II
Miguel Delgado Le´ n
o
28 de Julio del 2005

2

Cap´tulo 1
ı
Radiaci´ n Electromagn´ tica
o
e

1.1

Ecuaciones de Maxwell en medios con fuentes

las ecuaciones de Maxwell en medios con fuentes en su forma diferencial son las
siguientes:
· D(r, t) = ρ(r, t)

· B(r, t) = 0

Ley de Gauss

Ley de Gauss Magn´ tico
e
3

(1.1)(1.2)

4

´
´
´
CAPITULO 1. RADIACION ELECTROMAGNETICA

× E(r, t) = −

∂
B(r, t)
∂t

∂
D(r, t)
∂t
con las ecuaciones constitutivas:
× H(r, t) = J(r, t) +

D(r, t) = ε0 E(r, t)

1.2

Ley de Faraday
Ley de Ampere Maxwell

B(r, t) = µ0 H(r, t)

(1.3)
(1.4)

(1.5)

potencial escalar y potencial vectorial

De (1.2) se deduce que B es un rotacional, as´:
ı
B(r,t) =

× A(r, t)

(1.6)

reemplazando en (1.3), obtenemos:
× E(r, t) +

∂
A(r, t) = 0
∂t

(1.7)

Como sabemos, si el rotacional de un vector es cero, este vector es un gradiente,
seg´ n la ecuaci´ n anterior, el t´ rmino entre parentesis es un gradiente, entonces:
u
o
e
E(r, t) = − V(r, t) −

∂
A(r, t)
∂t

(1.8)

Aqui, V es el potencial escalar y A es el potencialvectorial. Reemplazando (1.5)
en (1.6) obtenemos:
1
H(r, t) =
× A(r, t)
(1.9)
µ0

´
´
´
1.3. SOLUCION DE LA ECUACION DE ONDA ESCALAR NO HOMOGENEA5
(1.8) en (1.5), este resultado y (1.9) en (1.4) obtenemos:
×

1
µ0

× A(r, t) = J(r, t) + ε0

∂
∂
− V − A(r, t)
∂t
∂t

(1.10)

la expresi´on anterior puede modificarse, quedando:
ı
×

× A(r, t) + µ0 ε0

∂2
A(r, t) + µ0 ε0∂t2

∂
V(r, t) = µ0 J(r, t)
∂t

Utilizando la conocida identidad vectorial × ( × A) =
reemplazando en la ecuaci´ n anterior, obtenemos:
o
( · A(r, t)) −

2

A(r, t) + µ0 ε0

∂2
A(r, t) + µ0 ε0
∂t2

( · A) −

(1.11)
2

A que

∂
V(r, t) = µ0 J(r, t) (1.12)
∂t

Imponiendo la llamada condici´ n de Lorentz o norma de Lorentz 1
o
∂
V(r, t) = 0
∂t
que reemplazado en laecuaci´ n anterior, la simplifica a:
o
· A(r, t) + µ0 ε0

(1.13)

∂2
A(r, t) − µ0 ε0 2 A(r, t) = −µ0 J(r, t)
(1.14)
∂t
Esta es conocida como la ecuaci´ n de onda vectorial no homog´ nea. (1.8) en
o
e
(1.5) y luego en (1.1), llegamos a:
2

−ε0

2

V(r, t) +

·

∂
A(r, t) = ρ(r, t)
∂t

(1.15)

· A(r, t) y reemplazando en (1.15) llegamos a:

Despejando de (1.13)
2

V(r,t) − µ0 ε0

∂2
1
V(r, t) = − ρ(r, t)
2
∂t
ε0

(1.16)

es la ecuaci´ n de onda escalar no homog´ nea
o
e

1.3

Soluci´ n de la ecuaci´ n de onda escalar no hoo
o
mog´ nea
e

En el caso est´ tico: ∂V/∂t = 0, (1.16) se reduce a la ecuaci´ n de Poisson, cuya
a
o
soluci´ n se conoce:
o
1
1
ρ(r )
2
dv
V(r) = − ρ(r) =⇒ V(r) =
(1.17)
ε0
4πε0 v R
1

Al finalizar laexposici´ n se probar´ est´ condici´ n
o
a a
o

´
´
´
CAPITULO 1. RADIACION ELECTROMAGNETICA

6

donde R = r − r , r es el vector posici´ n donde se localiza la carga y r el punto
o
donde se evalua V. Cuando la distribuci´ n de carga es una carga puntual q en el
o
origen, la soluci´ n es:
o
q
V(r) =
(1.18)
4πε0 r
La soluci´ n de la ecuaci´ n diferencial de (1.16) es muycomplicada, sin embargo,
o
o
se puede utilizar un artificio para llegar a resolverla: considerando la distribuci´ n
o
una carga puntual en el origen que oscila siempre en el origen. Entonces, (1.16)
se reduce a:
1 ∂2
2
V(r, t) − 2 2 V(r, t) = 0
en
r 0
(1.19)
c ∂t
Cuando la carga est´ siempre en el origen, existe sim´ tria en coordenadas esf´ ricas
a
e
e
con respecto a θ y φ, es decir, V= V(r) y la ecuaci´ n anterior se reduce a:
o
1 ∂
∂
1 ∂2
r V(r, t) − 2 2 V(r, t) = 0
r2 ∂r ∂r
c ∂t

(1.20)

haciendo un cambio de variable V = χ/r que reemplazado en (1.20), llegamos a:
∂2
1 ∂2
χ(r, t) − 2 2 χ(r, t) = 0
∂r2
c ∂t

(1.21)

es la ecuaci´ n de onda unidimensional que satisfece cualquier funci´ n con arguo
o
mento r − ct o t − r/c
χ(r, t) = f (r − ct) = f (t...