radicales


1- DEFINICIÓN

En general se llama Raíz de índice n de un número A, o raíz n-ésima de A, a otro número, B, de manera que al elevarlo a n (índice) nos dé el valor del radicando A.

si se cumple que

Donde a:
 se llama radical.
n se le llama índice del radical con n≥2 ; nN
A se le llama radicando
B la raiz n – ésima


Un radical es por tanto una raíz indicada, sinresolver, y representa el valor exacto del número real, sin errores.

Entonces por ejemplo, a partir de la definición podemos calcular las siguientes raices:
a)
por que
b)
por que
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)

OBSERVACIONES:
1.- Todo número real positivo tiene dos raíces de igual índice, una positiva y otranegativa:
por que y
Entonces representaremos por: la raíz positiva y − la raíz negativa.
2.- NO EXISTE LA RAÍZ DE ÍNDICE PAR DE NÚMEROS NEGATIVOS,
ya que cualquier número elevado a una potencia par es siempre positivo.

3.- Las raíces de índice impar existen siempre, para cualquier número, y tienen el mismo signo del radicando.
Es decir, la raíz de índice impar de un número negativo esnegativa y la raiz de índice impar de un número positivo es positiva.

2- Propiedades de las Operaciones de los Radicales.
2.1. Producto de radicales con el mismo índice:
Es otro radical del mismo índice que resulta de multiplicar los radicandos. Es decir, se deja el índice y se multiplican los radicandos.

Ejemplo / Ejercicio:
a)

c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
2.2. Cociente deradicales con el mismo índice:
Es otro radical del mismo índice que resulta de dividir los radicandos. Es decir, se deja el índice y se multiplican los radicandos.

Ejemplo / Ejercicio:
a) b) c) d)
e) f) g) h)
2.3. Potencia de un radical:
Es otro radical con el mismo índice y cuyo radicando es una potencia de exponente igual al del radical


Ejemplo / Ejercicio:
a) b)c) d) e)
f) g) h) i)
2.4. Raíz de un radical:
Es otro radical cuyo índice es el producto de los índices y el radicando es el mismo.

Ejemplo / Ejercicio:

a) b) c) d) e) f)

2.5. Radicales Equivalentes:
Son radicales equivalentes aquellos quetienen el mismo valor. Por ejemplo:
 =  = = =

Observamos que una forma de obtener radicales equivalentes es multiplicar el índice y el exponente del radicando por el mismo número, podríamos llamarlo, por analogía con las fracciones, amplificación de radicales. Del mismo modo podemos obtener radicales equivalentes dividiendo el índice y el exponente delradicando por el mismo número, podríamos llamarlo, simplificación de radicales.
Así:
Amplificar: ; Simplificar:

Ejemplo / Ejercicio: Obtener dos radicales equivalentes, uno simplificando y otro amplificando:
a) b) c) d) e) f) g) h)

Ejercicio 1: Completa para que sean radicales equivalentes:
a)
b)
c)
d)

Una aplicación inmediata de estapropiedad es la de reducir varios radicales a índice común; calculando el mínimo común múltiplo, m.c.m., de los índices y obteniendo radicales equivalentes a los de partida con índice el m.c.m.
Ejemplo: Vamos a reducir a común denominador: ; ;
1º Calculamos el m.c.m. de los índices: m.c.m.(6,4,1)=12
2º Obtenemos radicales equivalentes con este índice:
= = =

Ejercicio 2: Reduce acomún denominador los siguientes radicales:
a) ; ; b) ; ;

Ejercicio 3: Calcula aplicando las propiedades de los radicales, simplificando el resultado:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

3- Calculo de raíces por Factorización.
Las propiedades de los radicales nos permiten calcular raíces, de forma fácil, a partir de la factorización de su radicando. Este método es muy útil para el...