Radicales

[pic]

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Sección

Introducción

Los números reales cumplen diferentes propiedades que nos permiten simplificarlos y realizar operaciones con ellos en su notación radical. Nos corresponde ahora estudiar dichas propiedades, pero antes realizaremos un repaso de las propiedades de las potencias estudiadas en niveles anteriores.

Propiedades de las Potencias

[pic]1) Definición de potencia:

[pic]

Ejemplos:

a) [pic]=
b) [pic]=
c) [pic]=
d) [pic]=
e) [pic]=
2) Multiplicación de potencias de igual base: Para multiplicar potencias de igual base se conserva la base y se suman los exponentes.

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Ejemplos:

a) [pic]=
b) [pic]=
c) [pic]=
d) [pic]=

3) División de potencias de igual base: Para dividirpotencias de igual base se conserva la base y se restan los exponentes.

[pic]

Ejemplos:

a) [pic]=
b) [pic]=
c) [pic]=
d) [pic]=
4) Potencia de una potencia: Para elevar una potencia a otra potencia se conserva la base y se multiplican los exponentes.

[pic]

Ejemplos:

a) [pic]=
b) [pic]=
c) [pic]=
d) [pic]=

5) Potencia de un producto: Para elevar unproducto (o una multiplicación) a una potencia se eleva cada uno de los factores.

[pic]

Ejemplos:

a) [pic]=
b) [pic]=
c) [pic]=
d) [pic]=
6) Potencia de un cociente: Para elevar un cociente (o una división) a una potencia se eleva el numerador y el denominador.

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Ejemplos:

a) [pic]=

b) [pic]=

c) [pic]=

d) [pic]=

e) [pic]=

7)Potencia de exponente negativo: Para elevar un cociente con exponente negativo se eleva el numerador y el denominador y se invierten ambos.

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Ejemplos:

a) [pic]=

b) [pic]=

c) [pic]=

d) [pic]=

e) [pic]=

8) Potencia de exponente uno: Todo número elevado a la uno es igual a sí mismo.

[pic]

Ejemplos:

a) [pic]= c) [pic]=
b) [pic]= d) [pic]=9) Potencia de exponente cero: Todo número diferente de cero elevado a la cero es igual a uno.

[pic]

Ejemplos:

a) [pic]= c) [pic]=
b) [pic]= d) [pic]=

Ejercicio

Simplifique las siguientes expresiones utilizando las leyes de potencias.

1) [pic]=

2) [pic]=

3) [pic]=

4) [pic]=

5) [pic]=

Propiedades de los Radicales

[pic]

1) Definición de radical:Una potencia de exponente fraccionario puede expresarse como una raíz, donde la base pasa a ser el subradical elevado al numerador de la fracción, y el denominador pasa a ser el índice.

[pic]

Ejemplos:

a) [pic]= e) [pic]=
b) [pic]= f) [pic]=
c) [pic]= g) [pic]=
d) [pic]= h) [pic]=

NOTA: Los exponentes fraccionarios cumplen las mismas propiedades que los exponentes enteros.2) Raíz con índice y exponentes iguales: Para extraer la raíz de una potencia con exponente igual al índice del radical, se aplican las siguientes igualdades:

[pic], si n es impar

[pic], si n es par

Ejemplos:

a) [pic]= e) [pic]=
b) [pic]= f) [pic]=
c) [pic]= g) [pic]=
d) [pic]= h) [pic]=

.

3) Potencia de una raíz: Para elevar una expresión radical, se conservael índice y se eleva el coeficiente y el subradical.

[pic][pic][pic]

Ejemplos:

a) [pic]=
b) [pic]=
c) [pic]=
d) [pic]=

4) Raíz de un producto: Para extraer la raíz de un producto se extrae la raíz de cada factor.

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Ejemplos:

a) [pic]=
b) [pic]=
c) [pic]=
d) [pic]=
5) Raíz de un cociente: Para extraer la raíz de un cociente se extraela raíz de cada término.

[pic]

Ejemplos:

a) [pic]=
b) [pic]=
c) [pic]=
d) [pic]=

6) Raíz de una raíz: Para extraer la raíz de una raíz se conserva el subradical y se multiplican los índices.

[pic]
Ejemplos:

a) [pic]=
b) [pic]=
c) [pic]=
d) [pic]=

Simplificación de Radicales

La aplicación de las leyes estudiadas anteriormente,...