Raices De Polinomios Problemas

PROBLEMARIO DE ALGEBRA SUPERIOR
TEMA: RAICES DE POLINOMIOS
1. Demuestre el teorema del residuo: Si el polinomio P(x) se divide entre (x − r), el residuo es P(r).
SOLUCIÓN
En la división de P(x) entre (x − r), sea Q(x) el cociente y R, una constante, el residuo. Por definición, P(x) = (x − r)Q(x) + R, la cual es una identidad para todos los valores de x. Sea x = r, P(r) = R.
2. Determine elresiduo R después de cada una de las divisiones siguientes:

3. Demuestre el teorema del factor: Si r es una raíz de la ecuación P(x) = 0, entonces (x − r) es un factor de P(x); y, de lo contrario, si (x − r) es un factor de P(x), entonces r es una raíz de P(x) = 0.
SOLUCIÓN
En la división de P(x) entre (x − r), sea Q(x) el cociente y R, una constante, el residuo. Entonces, P(x) = (x − r)Q(x) + R oP(x) = (x − r)Q(x) + P(r) por el teorema del residuo.
Si r es una raíz de P(x) = 0, entonces P(r) = 0. De aquí que P(x) = (x − r)Q(x) o (x − r) es un factor de P(x).
De otra forma, si (x − r) es un factor de P(x), entonces el residuo de la división de P(x) entre (x − r) es cero. De aquí que P(r) = 0, es decir, r es una raíz de P(x) = 0.
4. Demuestre que (x − 3) es un factor del polinomio P(x) = x4 −4x3 − 7x2 + 22x + 24.
SOLUCIÓN
P(3) = 81 − 108 − 63 + 66 + 24 = 0. De aquí que (x − 3) es una factor de P(x), 3 es una raíz del polinomio P(x) y 3 es una raíz de la ecuación P(x) = 0.
5. a) Es − 1 una raíz de la ecuación P(x) = x3 − 7x − 6 = 0?
b) Es 2 una raíz de la ecuación P(y) = y4 − 2y2 − y + 7 = 0?
c) Es 2i una raíz de la ecuación P(z) = 2z3 + 3z2 + 8z + 12 = 0?
SOLUCIÓN
a) P(−1) = −1 + 7 −6= 0. De aquí que − 1 es una raíz de la ecuación P(x) = 0, y [x − (−1)] = x + 1 es un factor del polinomio P(x).
b) P(2) = 16 − 8 − 2 + 7 = 13. De aquí que 2 no es raíz de P(y) = 0, y (y − 2) no es factor de y4 − 2y2 − y + 7.
c) P(2i) = 2(2i)3 + 3(2i)2 + 8(2i) + 12 = − 16i − 12 + 16i + 12 = 0. De aquí que 2i es una raíz de P(z) = 0, y (z − 2i) es un factor del polinomio P(z).
6. Demuestre que x −a es un factor de xn − an, si n es cualquier entero positivo.
SOLUCIÓN
P(x) = xn − an; por lo tanto P(a) = an − an = 0. Puesto que P(a) = 0, x − a es un factor de xn − an.
7. a)Demuestre que x5 + a5 es divisible exactamente entre x + a.
b) ¿Cuál es el residuo de y6 + a6 dividido entre y + a?
SOLUCIÓN
a) P(x) = x5 + a5; entonces P(−a) = (−a)5 + a5 = −a5 + a5 = 0. Puesto que P(−a) = 0, x5 + a5 esdivisible exactamente entre x + a.
b) P(y) = y6 + a6. Residuo = P(−a) = (−a)6 + a6 = a6 + a6 = 2a6.
8. Demuestre que x + a es un factor de xn − an cuando n es un entero positivo par, sin embargo, no es un factor cuando n es un entero positivo impar. Suponga que a ≠ 0.
SOLUCIÓN
P(x) = xn − an.
Cuando n es par, P(−a) = (−a)n − an = an − an = 0. Puesto que P(−a) = 0, x + a es un factor de xn − ancuando n es par.
Cuando n es impar, P(−a) = (−a)n − an = an − an = −2an. Puesto que P(−a) ≠ 0, xn − an no es divisible exactamente entre x + a cuando n es impar (siendo el residuo −2an).
9. Encuentre los valores de p para los que:
a) 2x3 − px2 + 6x − 3p es exactamente divisible entre x + 2,
b) (x4 − p2x + 3 − p) ÷ (x − 3) tiene un residuo 4.
SOLUCIÓN
a) El residuo es 2(−2)3 − p(−2)2 + 6(−2) − 3p = −16− 4p − 12 − 3p = − 28 − 7p = 0. Por lo tanto p = −4.
b) El residuo es 34 − p2(3) + 3 − p = 84 − 3p2 − p = 4. Por lo tanto, 3p2 + p − 80 = 0, (p − 5)(3p + 16) = 0 y p = 5, −16/3.
10. Por división sintética, determine el cociente y el residuo de lo siguiente:
(3x5 − 4x4 − 5x3 − 8x + 25) ÷ (x − 2)
SOLUCIÓN

La fila superior de números proporciona los coeficientes del dividendo, siendo cero elcoeficiente de las potencias de x que faltan (0x2). El 2 en el extremo izquierdo es el segundo término del divisor con el signo cambiado (ya que el coeficiente de x en el divisor es 1).
El primer coeficiente en la columna superior, 3, está escrito primero en la tercera fila y después multiplicado por el 2 del divisor. El producto 6 está colocado en primer término en la segunda fila y sumado al −4 de...