Raiz unitaria

PRUEBA DICKEY - FULLER
Para determinar la existencia de no estacionariedad en una serie de tiempo económica, se debe de establecer una regla de decisión que de cabida a los dos tipos de tendencia (estocástica versus deterministica), de manera tal que al rechazar la presencia de un tipo de tendencia, por defecto se acepte la presencia de otro tipo, a continuación se expone esta regla de decisiónla que se conoce como Test Estadístico Dickey-Fuller.
Este test fue propuesto por D. A. Dickey y W. A. Fuller, siendo dos los objetivos buscados en su aplicación: 1) determinar si en la serie de tiempo económica analizada, existe una tendencia, y 2) si esta tendencia (en su caso) es de tipo estocástico o determinístico.
El proceso que se sigue para obtener una expresión algebraica que permitacumplir con los objetivos arriba señalados, inicia suponiendo que la variable de interés Xt (en donde X representa una variable económica como tasas de interés, precios de azúcar, producción industrial, etc.) es función del tiempo “t”, en donde “t” representa una serie progresiva esto es: 1980=t=1, 1981=t=2 etc., lo que se representa a través de la ecuación (1):

Por otra parte para introducir laposibilidad de tendencia estocástica se supone que ε sigue un proceso AR(1), como se muestra en la ecuación (2), adicionalmente se supone que la función de distribución de “ut” responde a las siguientes características: u~niid(0,σ2).
Rezagando un periodo la ecuación (1) se obtiene la ecuación (3) que se muestra abajo, a partir de la cual se despeja el término εt-1 {(ecuación (4)}, tomando el ladoderecho de esta última y remplazando el término εt-1 de (2), se llega a la ecuación (5), como se muestra a continuación:

Tomando la expresión (5), y sustituyendo el resultado en la ecuación (1), se obtiene la expresión (6), como se muestra enseguida:

Realizando las operaciones de multiplicación, suma, resta y agrupación de términos, al lado derecho de la ecuación (6), se llega a lasiguiente expresión:

Sustituyendo los términos del lado derecho de la ecuación (7), por las letras griegas μ, β y α como se muestra enseguida, y aplicando al lado izquierdo el operador de rezagos, se obtiene la ecuación (8):

Esta última expresión es la que se utiliza para determinar (en su caso) el tipo de tendencia presente en la serie de tiempo bajo análisis.
Para calcular el valor de losparámetros μ, β y α se utiliza el modelo de regresión lineal. La ecuación (8) que se muestra abajo, es uno de los tres casos en los que la prueba Dickey-Fuller se presenta, ordinariamente se le conoce como prueba Dickey-Fuller, con constante μ y tendencia β.

Como se recordara en su derivación se utilizó, la siguiente estructura de información:

Adicionalmente, existen otras dos posiblesespecificaciones, que, suponen las siguientes estructuras de información:

Las ecuaciones (13) y (14), se obtienen a través del mismo procedimiento, utilizado para obtener la ecuación (8), siendo el objetivo de las mismas, el que se señalo para la ecuación (8). Como se puede observar las ecuaciones (8), (13) y (14), son similares, diferenciándose por la ausencia o presencia de los términos: μ y β.Determinar si la serie de tiempo económica bajo análisis muestra una tendencia, siendo por lo tanto no estacionaria, depende del valor que asume el coeficiente ∅ si este es igual a 1 (∅ = 1), la serie de tiempo económica analizada muestra una tendencia estocástica, por otro lado si el parámetro ∅ es menor a 1, (∅ < 1) entonces la serie de tiempo económica bajo análisis muestra una tendenciadeterministica (lineal en este caso). Trasladando lo dicho en el párrafo anterior a la ecuación (8), que es la propuesta por Dickey-Fuller, que se muestra a continuación:

Se puede ver que si ∅ es igual a 1 (∅ = 1), eso implica que α es igual a cero (α = 0), mientras que si ∅, es menor a 1 (∅ < 1), entonces α es menor a cero (α < 0), lo anterior se presenta en formato a continuación el formato...