Razon de Cambio

LA DERIVADA COMO TASA DE VARIACIÓN
O RAZON DE CAMBIO
Si y = f(x), entonces:
∆y = f(x + ∆ x) - f (x)
∆x
∆x
es la tasa media de variación de y con respecto a x sobre el intervalo [x, x + ∆x] y,
dy = lim ∆y =
dx ∆ x→0 ∆x

lim f(x + ∆ x) - f (x)
∆x→0
∆x

es la tasa instantánea de y con respecto a x, o rapidez de variación, o sólo tasa de variación, o
dy
razón de cambio, pues dx = f '(x) es la pendiente de la tangente.

Ejemplo 30
Evaluar la tasa de variación de y = x4 con respecto a x. Evaluar la razón de cambio cuando:
x = 1 y cuando x = -2.
Solución:
dy
Calculando la tasa de variación: dx = 4x3
Cuando x = 1, la razón de cambio es:
dy
3
dx | x = 1 = 4(1) = 4
Significa que si x aumenta en una cantidad pequeña, y aumenta en 4 veces el aumento en x.
Cuando x = -2,la razón de cambio es:
dy
dx |

x = -2

= 4(-2)3 = -32

Importante: El signo (-) de -32 señala que y disminuye a un ritmo de 32 veces al del aumento
en x.

89

MATEMÁTICA II
LÍMITES

Mg. María V. Hermenegildo Chávez

90

FUNCIÓN DE COSTO TOTAL DE UN FABRICANTE
Sea:
c = f (q)
donde:
c: costo total del fabricante (unidades monetarias)
q: número de unidades a producir yvender de un producto
Costo Marginal:
dc
Es la tasa de cambio de c con respecto a q y está dado por: dq

Ejemplo 31
Sea la función de costo total:
dc
c = 1000 + 20 q² => dq = 40 q

($)

Hallar el costo marginal cuando se producen q = 5 libras.
Solución
dc
dq | q =5 = 40(5) = 200 $/libra

Significa:
Si producimos una libra más, entonces el costo adicional es de $200.00aproximadamente.
Interpretación de costo marginal (no es costo adicional real): Se interpreta como el costo
aproximado de una unidad adicional de producción.
Calculando el costo adicional real: c(6) – c(5) = [1000 + 20(6)²]- [1000 + 20(5)²]= 220,
existe una diferencia de $20 al comparar con el costo marginal.

Ejemplo 32
Un sociólogo esta estudiando varios programas que se sugieren pueden ayudar en laeducación
de niños en edad preescolar de cierta ciudad. El sociólogo considera que después de x años de
iniciado un programa específico, f(x) millares de preescolares se inscribirán. Se tiene que:

90

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Mg. María V. Hermenegildo Chávez

10
f(x) = 9 (12x -x²) ,

91

0 ≤ x ≤ 12

¿A qué tasa cambiará la inscripción?
a) Después de 3 años de inicio de eseprograma?
b) Después de 9 años?
Solución:
dy
10
La tasa de variación dx = 9 (12 - 2x)

a) Después de 3 años: x = 3
dy
dx |

=>

x =3

10
20
= 9 [12 - 2( 3)] = 3 millares /año

Significa que:
20
La inscripción estará aumentando en una tasa de variación de 3 millares de preescolares por
año.
b) Después de 9 años: x=9
dy
dx |
9

x =9

10
= 9 (12 - 2( 9)) =

20
-3

20Después de 9 años, la inscripción estaría disminuyendo en una tasa de 3 millares de
preescolares por año.

Ejemplo 33
Sea p = 300 - 2q², la función de demanda para un producto de un fabricante. Hallar la tasa de
variación del precio p (en dólares) por unidad con respecto a la cantidad q ¿Cuán rápido cambia
el precio con respecto a q cuando q = 8?
Solución
La tasa de variación será:
dp d
dq=dq (300 - 2q² ) = -4q
91

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Cuando q = 8:
dp
dq | q =8 = - 4 (8) = -32
Significa que: Si la demanda es q = 8, si se aumenta una unidad en la demanda, el precio que
tiene que pagar por unidad el consumidor será aproximadamente $32 menos.

Ejemplo 34
Juan estimo la función de costo total para una fábrica de calcetines de lasiguiente manera:
c = -10 484.69 + 6.750 q - 0.000328 q²

($)

en donde q es la producción en docenas de pares y c son los costos totales en dólares. Halle la
función de costo marginal y evalúela cuando q = 5000.
Solución
Calculando el costo marginal
dc
dq = 6.750 - 0.000656 q
Si q = 5000:
dc
dq | q =5000

$/docena

= 6.750 - 0.000656 (5000) = 3.47 $/docena

Significa que:...