Razones y Proporciones

RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN NUMÉRICA:
Se llama Razón al resultado de comparar dos cantidades y será siempre un número real. Se puede compararlas de dos formas: en cuanto excede una de la otra o cuantas veces contiene una a la otra.

Primer ejemplo:
30 excede a 20 en 10 unidades. Como la razón 10 es el resultado de decir cuanto excede la primera a la segunda se representa por mediode una diferencia indicada: 30 – 20, la cual se lee: 30 es a 20. A razones como estas se llaman razones aritméticas o por diferencia y se denotan así: a – b.

Segundo ejemplo:
45 contiene a 15, 3 veces. Como la razón 3 fue el resultado de dividir 45 entre 15, se representa por medio de un cociente indicado: 45 ÷ 15, 25:15 ó 45/15; al simplificar la expresión queda 3:1, que es la forma usual deindicar la razón, que se lee 3 es a 1. A razones como éstas se les llama razones geométricas, por cociente o simplemente razones y son las que se estudiarán a continuación.

Términos de una razón numérica:
Sean las razones a–b o a:b, se dice que a es el antecedente y b es el consecuente. Una razón se lee: a es a b.

Razones equivalentes:
Las razones pueden considerarlas como fraccionesy, así como se habla de fracciones equivalentes, se puede hablar de razones equivalentes o iguales.

Ejemplo: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10…

Se observa que 1 contiene a 2 el mismo número de veces que 2 contiene a 4, que 3 contiene a 6… Se expresa diciendo que están en una razón de 1 a 2.

Para formar razones iguales se multiplica o divide los dos términos de la razón porel mismo número (como se hace con las fracciones)

PROPORCIÓN:
Es la igualdad entre dos razones.
Una proporción se puede escribir de cualquiera de las formas:

a:b :: c:d o a/b = c/d

y se lee: a es a b como c es a d

Ejemplo: 8:2 :: 20:5 se lee 8 es a 2 como 20 es a 5

Ejemplo: se quiere formar una proporción. ¿Cuáles de las siguientes razones la forman?

a) 1:5 b) 2:5c) 2:10 d) 5:10

Respuesta: son iguales o equivalentes: a y c

Términos de una Proporción
Si a:b :: c:d, se llama extremos al primero y al cuarto términos (a y d) y medios al segundo y al tercero (b y c).

Ejemplo: dada la proporción 1 = 100 o 1:50 :: 100:5000
50 5000

Los extremos son: 1 y 5000
Los medios son: 50 y 100Clasificación de las proporciones
a) Proporciones Discretas: son las que tienen sus 4 términos diferentes: por ejemplo: 28:4 :: 14:2, 1:5 :: 10:50
b) Proporciones Continuas: son las que tienen sus medios iguales: por ejemplo: 40:20::20:10, 1:2::2:4

Teorema Fundamental de las proporciones

Dice: el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Simbólicamente: a:b::c:d ( ad= bc
Este teorema nos permite hallar el término desconocida de una proporción:

a) Un extremo desconocido: se multiplican los medios y el producto se divide entre el extremo conocido: Ejemplo: x:9::15:45.
x = 9 * 15
45
x = 135
45
x = 3

b) Un medio desconocido: se multiplican losextremos y el producto se divide entre el medio conocido:
Ejemplo: 5:9::x:18.
x = 5 * 18
9
x = 90
9
x = 10

c) Ambos medios o ambos extremos desconocidos: se multiplican los términos conocidos y al producto se le extrae raíz cuadrada.
Ejemplo: 6:x::x:24.
x = (6 * 24x = (144

x = 12

Ejemplo: x:9::36:x.
x = (9 * 36

x = (324

x = 18

PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

Al comparar cantidades correspondientes a dos magnitudes encontramos que existe entre ellas una relación de proporcionalidad: una aumenta o disminuye en la misma proporción que la otra....