razones

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CURSO 2013

MATEMATICA BASICA
RAZONES Y PROPORCIONES

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RAZONES Y PROPORCIONES
INTRODUCCIÓN
Imaginémonos que Marcela y Elita, tienen $8.000 y $10.000, respectivamente. Al
comparar estas cantidades podemos decir que Elita tiene $2.000 más que Marcela. Sin
embargo, esta diferencia no resultaría ser significativa si las cantidades de dinero
fueran muy grandes. Otra forma en quepodemos compararlas es mediante la División,
es decir:

8.000 4

10.000 5
Esto nos indica que por cada $4 que tiene Marcela, Elita tiene $5.
Definición:
Llamaremos razón entre dos cantidades a y b a la comparación de ellas mediante la
división.
Notación: La razón entre a y b se escribe

a
o bien a : b
b

Los elementos que forman la razón se llaman antecedente y consecuente

Ejemplo1: Si Sergio tiene 50 años y Marcos tiene 25 años, entonces la razón entre la
edad de Sergio y la Edad de Marcos es:
Sergio
50 2


Mar cos 25 1
2
La razón
indica que la edad de Sergio es el doble de la edad de Marcos. ¿Cuál es la
1
razón entre la edad de Marcos y de Sergio?

Ejemplo 2: Si un automóvil recorre una distancia de 100 Km en 2 horas, entonces la
razón entre la distanciarecorrida y el tiempo empleado en recorrerla es:
100 Km
Km
 50
2h
h
¿Recuerda usted, qué concepto mide esta razón?
¿Tendría sentido la razón inversa?
Observación: Llamaremos razón tanto a la comparación como al cuociente obtenido,
en otras palabras interesa el orden de comparación

3

PROPORCIONES
Al simplificar la fracción

50
1
para obtener
nos encontramos con dos razones que100
2

tienen el mismo valor. Es decir, estamos frente a una proporción
Definición: Llamaremos proporción a la igualdad de dos razones
Notación: Si las razones
también así: a : b = c : d.
En la proporción

a c
a c
son iguales, entonces la igualdad
se anota
y

b d
b d
En ambos casos se lee: “ a es a b como c es a d”

a c
 , los términos a y d son los extremos y los términosb y c son
b d

los medios.

TEOREMA: PROPIEDAD FUNDAENTAL DE LAS PROPORCIONES

En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos

a c
  ad  bc
b d

con b ≠ 0 y d ≠ 0

Ejemplo: ¿ Forman una proporción las razones

33 44
y
39 52

Dada una proporción, podemos obtener otras proporciones con los mismos términos,
utilizando las siguientestransformaciones:

4

a c
c a
  
b d
d b
a c
b d
b) Invertir :   
b d
a c
a c
a b
c) Alternar :    medios
b d
c d
a c
d c
d ) Alternar :    extremos
b d
b a
a ) Permutar :

3 12

, determine todas las proporciones posibles
5 20
aplicando las transformaciones anteriores. ¿Cuántas son en total?
Ejercicio: Dada la proporción

Otras propiedades de lasproporciones.1) Componer una proporción
a c
ab cd ab cd
 



b d
a
c
b
d
2) Descomponer una proporción
a c
a b c d a b c d
 



b d
a
c
b
d
3) Componer y descomponer una proporción
a c
ab cd
 

b d
ab cd
Nota: Estas propiedades tienen una enorme aplicación en la Geometría de proporción
Ejemplo: La suma de las edades de dos personas es 80 años y estánen la razón 7 : 9.
¿Cuáles son las edades?
Definición: Una proporción cuyos términos son todos distintos se llama proporción
discontinua. Ejemplo: 3 : 2 = 6 : 4
Cada uno de sus términos se dice que es una cuarta proporcional entre los otros
tres.
Ejemplo: Calcular las cuartas proporcionales entre 6, 8 y 12.
Nota: Normalmente el problema viene especificado para obtener una sola solución,Dice, por ejemplo, calcular la cuarta proporcional entre 16, 4 y 12 en este orden de tal
manera que: 16 : 4 = 12 : x --------> x = 3
Definición: Una proporción cuyos términos medios o extremos son iguales ( se
repiten) se llama proporción continua. El término repetido se llama media proporcional
y cada uno de los términos no repetidos se llama tercera proporcional. Ejemplo: 2 : 4
= 4 : 8 es...