Raíces

MÓDULO 3 EJE TEMÁTICO DE ESTA SEMANA: Álgebra y funciones CONTENIDOS CURRICULARES: Raíces cuadradas y cúbicas – Operatoria con raíces – Racionalización - Ecuación cuadrática Función cuadrática Raíces cuadradas y cúbicas Comencemos el estudio de las raíces, haciéndonos la siguiente pregunta: Si el área de un cuadrado es 15 cm2, ¿cuál es su área? Para responder a esto, debemos encontrar un númerocuyo cuadrado es 15, este número se denomina raíz cuadrada de 15 y es aproximadamente 3,8729. Si generalizamos lo anterior podemos afirmar que: Si a es un número positivo, entonces b es positivo; por lo tanto erróneamente se cree. Por otro lado, la igualdad: tenemos propiedad es: Si en la raíz: que: . y no ±3 como

se cumple solo si x>0, ya que si

esto no es igual a –3, ya que seríacontradictorio con lo anterior. Por lo tanto, la (para cualquier valor real de x). , a es negativo, entonces la raíz no es un número real. Si la raíz es cúbica, tenemos .

En este caso, si a es negativo, b resulta ser negativo y si a es positivo, b también; por lo tanto, la raíz cúbica está definida para todo número real. En general, las raíces se pueden definir mediante una potencia de exponentefraccionario: Definición: , donde n se denomina el índice de la raíz; como vimos anteriormente, cuando este no aparece se entiende que es dos (raíz cuadrada). La definición está sujeta a las restricciones que vimos en el párrafo anterior: es decir, las raíces de índice par están definidas para números no negativos y las de índice impar están definidas para todo número real. Debido a que las raíces puedenconvertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias que estudiamos en el módulo anterior; de estas se pueden deducir las siguientes propiedades de raíces: Propiedades de las raíces 1) Multiplicación de raíces de igual índice:

2) División de raíces de igual índice:

3) Raíz de raíz:

4) Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice:5) Propiedad de amplificación:

6) Ingreso de un factor dentro de una raíz:

(con la restricción que a>0 si n es par) Observación: las propiedades anteriores son válidas solamente en el caso de que las raíces estén definidas en los números reales. Veamos a continuación la demostración de algunas de las propiedades, para que veas su analogía con las propiedades de las potencias: Demostración de(1):

Demostración de (5):

Demostración de (6):

Operatoria con raíces Adición y sustracción de raíces semejantes Se llaman raíces semejantes aquellas que tienen la misma cantidad subradical. Por ejemplo, son raíces semejantes y se pueden sumar y/o restar: En el caso de querer sumar o restar raíces no semejantes, se debe descomponer las cantidades subradicales para convertirlas a raícessemejantes. Ejemplo:

Descomponiendo las cantidades subradicales en forma conveniente: Multiplicación y división de raíces de igual índice En este caso aplicamos las propiedades 1 y 2 de las raíces. Ejemplo:

Descomponiendo las cantidades subradicales: Multiplicación y división de raíces de distinto índice. En este caso es conveniente utilizar la propiedad de amplificación para igualar índices.Ejemplo:

El m.c.m. de los índices es seis, entonces amplificamos para igualar los índices a seis:

Racionalización La racionalización consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador de una fracción. Analizaremos a continuación los casos más importantes: Caso 1: una raíz cuadrada en el denominador, sin adiciones ni sustracciones. Ejemplo: Racionalizar:

Amplificamosla fracción por

:

Caso 2: una raíz cuadrada en el denominador, con adiciones o sustracciones. Ejemplo:

Racionalizar: Amplificamos la fracción por diferencia: , para formar en el denominador una suma por su

Caso 3: una raíz cúbica en el denominador, sin adiciones o sustracciones. Ejemplo:

Racionalizar: Amplificamos la fracción por :

Una de las aplicaciones de la racionalización...