rc y rl circuitos

Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas
Circuitos RL y RC en estado estable
Circuito RL
Supongamos un circuito RL como el mostrado en la figura 1. Suponga que se
desea calcular la corriente i(t) que circula por el circuito. De acuerdo con la Ley de
Kirchoff de voltajes, se tiene que
V cos(wt) = V + V
m
R
C

donde el voltaje en la resistencia R está dado por vR = Ri y el voltaje en ladi
inductancia está dado por v L = L . Sustituyendo, se obtiene la ecuación del
dt
circuito RL:

L

di
+ Ri = Vm cos(wt)
dt

(1.1)

Esto es, el comportamiento del circuito en el dominio del tiempo está descrito por
una ecuación diferencial de primer orden.

R

i(t)
Vmcos(wt)

+

L

-

Figura 1
Para encontrar la solución de la ecuación (1.1); es decir, la corriente quecircula
por el circuito debemos considerar primero que dicha corriente debe de tener la
misma frecuencia. Supóngase que la solución tiene la forma
i(t) = I cos(wt) + I sen(wt)
1
2
Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene

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L[-I wsen(wt) + I wcos(wt)] + R[I cos(wt) + I sen(wt)] = V cos(wt)
1
2
1
2
m
agrupando y sacando comofactor sen(wt) y cos(wt), se obtiene:
(-LI w + RI )sen(wt) + (LI w + RI - V )cos(wt) = 0
1
2
2
1
m
Para que esto sea cero, se debe de tener que los coeficientes sean cero. Esto es:
-wLI + RI = 0
1
2
RI + wLI = V
1
2
m
Este es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: I1 e I2. Resolviendo
para I1 e I2 se obtiene que
RV
m
I =
1
R 2 + w 2 L2
I =
2

wLV
m
2 + w 2 L2R

Entonces, la corriente que circula por el circuito RL está dada por la expresión:
i(t) =

V
m
[Rcos(wt) + wLsen(wt)]
2 +w 2 L2
R

Utilizando la identidad trigonométrica Acosα + Bsenα =

A 2 + B2 cos(α - tan -1

-B
),
A

se obtiene que la corriente está dada por:
i(t) =

V
wL
m
cos(wt - tan -1
)
R
2 +w 2 L2
R

(1.2)

Esta expresión de la corriente requierealgunas observaciones:
1. Obsérvese que la amplitud de la corriente I =
m

V
m
es una función de
2 +w 2L2
R

R, L y w. El término w2L2 representa el cuadrado de la reactancia inductiva. La
reactancia inductiva se representa por XL(w) y tiene unidades de Ohms y
representa la oposición de la inductancia al paso de la corriente. A este tipo de
resistencia también se le conoce como impedanciainductiva.

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2. XL = wL, la reactancia inductiva es de hecho una resistencia que se opone al
paso de la corriente, pero es función de la frecuencia. Nótese que XL(w) es cero
en el caso en que L = 0 (esto es, cuando no hay inductancia y el circuito es
puramente resistivo) y cuando w = 0. En este caso, la señal de entrada Vmcos(wt)
= Vm esconstante, y es, en efecto, una señal de corriente directa. En cualquier
caso, si XL(w) = 0, el circuito se comporta como un circuito puramente resistivo y la
V
corriente se reduce a la expresión i(t) = m cos(wt ) . En otras palabras, para w =
R
0, el inductor se comporta como si fuese un corto circuito y la corriente tiene la
misma fase que el voltaje.
3. La impedancia de la inductancia crececon la frecuencia, de tal manera que
para frecuencias muy altas, la impedancia es muy grande y la corriente tiende a
cero. Esto significa que el circuito RL se comporta como un circuito abierto para
frecuencias grandes.
wL
se hace cero cuando w = 0, lo que
R
V
concuerda con el hecho de que la corriente, i(t) = m cos(wt ) , está en fase con el
R
voltaje.
4. La fase de la corriente φ =tan -1

5. Cuando R = 0, se tiene un circuito puramente inductivo y se tiene que la fase de
la corriente φ = -π/2 y la corriente está dada por
V
i(t) = m cos(wt - π/2)
(1.3)
wL
En este caso, la corriente está atrasada 90o respecto al voltaje. La figura 2a
muestra las señales de voltaje y corriente en un circuito puramente inductivo. La
figura 2b muestra el diagrama fasorial asociado a...