Recluta a amigos

Ecuaciones cuadráticas
Llamadas también ecuaciones polinomiales de segundo grado, cuya forma general es:

A≠0 A, B, C ∈ R
RAICES Y DISCRIMINANTES DE UNA ECUACIÓN CUADRATICA
Para determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado.
〖ax〗^2+bx+c =0 , a≠0
Completamos cuadrados es decir:
〖ax〗^2+bx+c=0 Como a≠0 entonces x^2+ b/a x+ c/a=0(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/(4a^2 ) Sacando la raíz cuadrada x+ b/2a=(±√(b^2-4ac))/2a de donde:

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

DISCRIMINANTE:
En la ecuación 〖ax〗^2+bx+c =0 , a≠0 se llama discriminante a la expresion:
∆ = b^2-4ac


RAIZ:
1ro. Si ∆ = b^2-4ac >0, entonces la ecuación 〖ax〗^2+bx+c =0 , tiene dos raíces reales distintas x_1 ,x_2 dadas por la fórmula: x = (-b±√(b^2-4ac))/2a
En estecaso siempre es posible factor izar 〖ax〗^2+bx+c =0 como∶
〖ax〗^2+bx+c =a (x-x_1 )(x-x_2 )
2do.si ∆ = b^2-4ac =0, entonces la ecuación 〖ax〗^2+bx+c=0, tiene una raíz real
(doble) x_1=x_2=x=-b/a
Luego en este caso la ecuación 〖ax〗^2+bx+c =0 es un cuadrado perfecto.
〖ax〗^2+bx+c = a (x+b/2a)^2
3ro. Si ∆ = b^2-4ac < 0, en este caso se tiene:
Si a > 0, 〖ax〗^2+bx+c > 0, ∀ x∈ R, nunca seanula.
Si a < 0, 〖ax〗^2+bx+c < 0, ∀ x ∈ R, nunca se anula.
Por lo tanto la ecuación 〖ax〗^2+bx+c =0 no tiene soluciones reales.
Teorema (de cardano-viete )
En la ecuación 〖ax〗^2+bx+c = 0 ,a≠o de raíces x_1,x_2 se cumple:
suma de raíces : x_1+x_2= -b/a
Producto de raíces: x_1.x_2= c/a
De la identidad de legendre :
(x_1+x_2 )^2-(x_1-x_2 )^2=4: x_1.x_2
Demostración: x_1 =(-b+√(b^2-4ac))/2a + (-b-√(b^2-4ac))/2a
I. x_1+x_2= (-b+√(b^2-4ac))/2a + (-b-√(b^2-4ac))/2a = -2b/2a → x_1+x_2= -b/a
II. x_1.x_2=((-b±√(b^2-4ac))/2a) ((-b±√(b^2-4ac))/2a)
=((-b)^2-(b^2-4ac))/(4a^2 ) = 4ac/(4a^2 ) = c/a → x_1.x_2= c/a
ECUACIONES REDUCTIBLES A CUADRATICAS:
Son aquellas ecuaciones que no son cuadráticas, pero que en mediante unasustitución además se transforma en una ecuación cuadrática.
(a+b)(a-d)=a²-ad+ba-bd

EJERCICIOS
1. Resolver: 3x²+x-10=0
Solución:
Factor izando: 3x²+x-10=0
3x -5
X 2
→ (3x-5) (x+2)=0 → x = 5/3 ν x = -2

c.s = -2; 5/3

2) Resolver: 3x²-2x+1=0Solución: como no es factorizable, se aplica la formula general.
x=(-(2)±√(〖(-2)〗^2-4(3)(1)))/(2(3)) =x=(2±√(-8))/6
c.s= (1+√(-2 ))/3 ; (1-√(-2))/3

3) Halle el discriminante de: 3x²-5x+7=0
Solución:
Por definición:
∆=b²-4ac
∆= (-5)²-4(3)(7)=25-84
∆= -59
4) Halle el discriminante en:2ix²+3x-i=0, i=x= √(-1)
Resolución: ∆=3²-4(2i) (-i)=9+8i²=9-1
∆=1
5) En: 2x²-5x-1=0
Su discriminante
∆= (-5)²-4(-2)
∆=33
Entonces 33 >0
Ecuaciones cuadráticas
Llamadas también ecuaciones polinomiales de segundo grado, cuya forma general es:

A≠0 A, B, C ∈ R
RAICES Y DISCRIMINANTES DE UNA ECUACIÓN CUADRATICA
Paradeterminar la naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado.
〖ax〗^2+bx+c =0 , a≠0
Completamos cuadrados es decir:
〖ax〗^2+bx+c=0 Como a≠0 entonces x^2+ b/a x+ c/a=0
(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/(4a^2 ) Sacando la raíz cuadrada x+ b/2a=(±√(b^2-4ac))/2a de donde:

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

DISCRIMINANTE:
En la ecuación 〖ax〗^2+bx+c =0 , a≠0 se llama discriminante a laexpresion:
∆ = b^2-4ac


RAIZ:
1ro. Si ∆ = b^2-4ac >0, entonces la ecuación 〖ax〗^2+bx+c =0 , tiene dos raíces reales distintas x_1 ,x_2 dadas por la fórmula: x = (-b±√(b^2-4ac))/2a
En este caso siempre es posible factor izar 〖ax〗^2+bx+c =0 como∶
〖ax〗^2+bx+c =a (x-x_1 )(x-x_2 )
2do.si ∆ = b^2-4ac =0, entonces la ecuación 〖ax〗^2+bx+c=0, tiene una raíz real
(doble)...