Recta Secante Y Tangente Introducci N

Rectas Secante y Tangente - Introducción
Nota:
f(x) es una función cualquiera
a, Xa y Xb son valores cualesquiera de x
Δx es una distancia cualquiera
entre dos valores del eje x

Introducción

Comenzaremos a analizar el crecimiento y decrecimiento de las funciones que
estudiemos, a tal efecto, necesitamos una nueva herramienta que nos permita sacar
conclusiones sobre dichas características. Laherramienta que propondremos será simple y
sencilla: a través de la función que queramos estudiar trazaremos ciertas rectas y
estudiaremos sus características para deducir cómo se comporta la función original.

Definiciones

Una recta secante es aquella recta que corta a una curva en dos puntos (al menos), a
medida que estos dos puntos elegidos se van acercando la recta secante tiende a
convertirseen una recta tangente.
Una recta tangente es aquella recta que se “apoya” en un punto de una curva,
manifestando cual es la dirección que toma la curva para ese punto.
En el siguiente gráfico pueden observarse una curva (azul), tres secantes (roja, amarilla y
verde) y una tangente (magenta)

(Gráfico 1)
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Recta Secante y Tangente – Matemática – Escuela Técnica ORT – 2013 – Ezequiel Wajs

Cálculode la Recta Secante

En principio nos interesaremos sólo por averiguar la pendiente de las rectas Secante y
Tangente y comenzaremos con el cálculo de la pendiente de la recta secante.
Es importante notar que para calcular la pendiente de la recta secante no es necesario
conocer el gráfico de la función ni ninguna propiedad de la misma más allá de su dominio
y su expresión matemática.
Si la rectasecante corta a la curva (la función) en dos puntos, quiere decir, precisamente,
que aquellos dos puntos en donde la recta corta a la curva son comunes a ambas, es
decir, son parte de la recta secante y parte de la curva a la vez. Por lo tanto, en esos dos
puntos, la recta y la curva “comparten” sus coordenadas (x;y). Estos dos puntos son
escogidos arbitrariamente, sin ningún criterio en especial.Llamemos a las abscisas de esos dos puntos (coordenadas del eje x) Xa y Xb, e
imaginemos un gráfico ficticio de una función cualquiera:

f(Xb)

f(Xa)
Δx
Xa

Xb
(Gráfico 2)

Es evidente que, como muestra la figura, sean cuales fueren Xa y Xb, sus respectivas
imágenes (ordenadas) serán f(Xa) y f(Xb), (es decir, la función reemplazada en Xa y en Xb
respectivamente).
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Recta Secante y Tangente –Matemática – Escuela Técnica ORT – 2013 – Ezequiel Wajs

Una vez comprendido que para hallar dos puntos de la recta secante (especificamente los
dos puntos de intersección) no hace falta conocer nada más que la expresión algebráica
de la función (y su dominio) estamos listos para hallar la pendiente de dicha recta.
Recordando que la pendiente de una recta (m) puede calcularse con la expresión:

=
m

∆yy2 − y1
=
∆x x2 − x1

Siempre y cuando (x1;y1) y (x2;y2) sean dos puntos distintos de la recta.
En el caso de la recta secante estos dos puntos necesarios son los únicos dos puntos de la
recta que se conocen (y que pertencen también a la función) son:

( Xa; f ( Xa) )
( Xb; f ( Xb) )
Por lo tanto la expresión de la pendiente de la recta secante es:

m=
sec

∆y
=
∆x

f ( Xb) − f ( Xa )
=
Xb − Xaf ( Xa ) − f ( Xb)
Xa − Xb

Otra forma de escoger los dos puntos distintos de la recta es fijar uno y definir al otro a
través de la distancia a la que se encuentra del primero. En el caso del Gráfico 2 (pág. 2),
podríamos definir Xa como el punto y Δx como la distancia al segundo punto (por lo
tanto no necesitaríamos saber Xb). De esta forma las coordenadas de los dos puntos
quedan:

( Xa; f (Xa) )
( Xa + ∆x; f ( Xa + ∆x) )
m=
sec

∆y
=
∆x

f ( Xa + ∆x) − f ( Xa )
=
Xa + ∆x − Xa

f ( Xa + ∆x) − f ( Xa )
∆x

Estas dos formas de hallar m son totalmente análogas, puede usarse cualquiera. Este
segundo método se conoce como cociente incremental.
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Recta Secante y Tangente – Matemática – Escuela Técnica ORT – 2013 – Ezequiel Wajs

Ejemplo:
Se tiene la función

f ( x=
) x2 + 2x

cuyo...