rectas y conicas
Páginas: 5 (1167 palabras)
Publicado: 14 de noviembre de 2013
Introducción: secciones cónicas
La hipérbola como sección cónica
La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas de todos conocidas.
Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de uncono con un plano.
La elipse como sección cónica
Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición deestas curvas como lugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia. (las cónicas como lugares geométricos).
La parábola como sección cónica
Finalmente se estableció una teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe como curvas cuadráticas. Es esta teoría la que presentamos a continuación.
Curvascuadráticas
Definición :
Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:
La ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como
donde
Una cónica queda pues definida por una matriz simétrica
En lo que sigue denotaremos por Aii a la matriz adjunta en A del elemento aiii=0,1,2 .
Ejemplo:
En el siguiente gráfico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior
En este caso la matriz de la cónica y las matrices adjuntas correspondientes son
Las figuras que represetan las ecuaciones cuadráticas pueden ser, además de elipses, hipérbolas yparábolas, pares de rectas tanto secantes como paralelas y estas últimas pueden ser distintas o coincidentes. También puede darse el caso de que la ecuación sea verificada por un único punto o por ninguno. Alguna de estas últimas también se pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las imágenes siguientes:
A continuación estudiamos como se puede determinar quetipo de curva que define una ecuación cuadrática dada.
Clasificación de las cónicas
Existen ciertas cantidades asociadas a la matriz de la cónica que son invariantes respecto a los movimientos del plano (giros y traslaciones).
Si y son las matrices asociadas a la cónica después de que ésta ha sufrido un giro y una traslación, respectivamente, entonces
1) detA=det A'=det A'',
2) a11 + a22 = a'11+ a'22 = a''11 + a''22,
3) det A00 = det A'00 = det A''00.
Tabla de Clasificación
det A ≠ 0
det A00 ≠ 0
det A00 > 0
signo (det A) = signo (a11+a22) Elipse imaginaria
signo (det A) ≠ signo (a11+a22) Elipse real
det A00 < 0Hipérbola
det A00 = 0 Parábola
det A= 0
det A00 ≠ 0
det A00 > 0 Rectas no paralelas imaginarias
det A00 < 0 Rectas no paralelas reales
det A00 = 0
det A11 + det A22 ≠ 0
det A11 + det A22 > 0 Rectasparalelas imaginarias
det A11 + det A22 < 0 Rectas paralelas reales
det A11 + det A22 = 0 Rectas coincidentes
Elementos notables de las cónicas
Centro:
Polar Dado un punto P=(x0,y0) se llama polar de P respecto de una cónica C de matriz A a la recta de ecuación
Si el punto P está en la...
La hipérbola como sección cónica
La circunferencia, la elipse, la parábola o la hipérbola son curvas planas de todos conocidas.
Estas curvas aparecían ya en la geometría griega y fueron denominadas secciones cónicas, ya que los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de uncono con un plano.
La elipse como sección cónica
Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de los métodos de demostración lo que llevo a sustituir la visión puramente geométrica de las secciones cónicas por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definición deestas curvas como lugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancia. (las cónicas como lugares geométricos).
La parábola como sección cónica
Finalmente se estableció una teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe como curvas cuadráticas. Es esta teoría la que presentamos a continuación.
Curvascuadráticas
Definición :
Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado:
La ecuación de una cónica se puede escribir en forma matricial como
donde
Una cónica queda pues definida por una matriz simétrica
En lo que sigue denotaremos por Aii a la matriz adjunta en A del elemento aiii=0,1,2 .
Ejemplo:
En el siguiente gráfico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior
En este caso la matriz de la cónica y las matrices adjuntas correspondientes son
Las figuras que represetan las ecuaciones cuadráticas pueden ser, además de elipses, hipérbolas yparábolas, pares de rectas tanto secantes como paralelas y estas últimas pueden ser distintas o coincidentes. También puede darse el caso de que la ecuación sea verificada por un único punto o por ninguno. Alguna de estas últimas también se pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las imágenes siguientes:
A continuación estudiamos como se puede determinar quetipo de curva que define una ecuación cuadrática dada.
Clasificación de las cónicas
Existen ciertas cantidades asociadas a la matriz de la cónica que son invariantes respecto a los movimientos del plano (giros y traslaciones).
Si y son las matrices asociadas a la cónica después de que ésta ha sufrido un giro y una traslación, respectivamente, entonces
1) detA=det A'=det A'',
2) a11 + a22 = a'11+ a'22 = a''11 + a''22,
3) det A00 = det A'00 = det A''00.
Tabla de Clasificación
det A ≠ 0
det A00 ≠ 0
det A00 > 0
signo (det A) = signo (a11+a22) Elipse imaginaria
signo (det A) ≠ signo (a11+a22) Elipse real
det A00 < 0Hipérbola
det A00 = 0 Parábola
det A= 0
det A00 ≠ 0
det A00 > 0 Rectas no paralelas imaginarias
det A00 < 0 Rectas no paralelas reales
det A00 = 0
det A11 + det A22 ≠ 0
det A11 + det A22 > 0 Rectasparalelas imaginarias
det A11 + det A22 < 0 Rectas paralelas reales
det A11 + det A22 = 0 Rectas coincidentes
Elementos notables de las cónicas
Centro:
Polar Dado un punto P=(x0,y0) se llama polar de P respecto de una cónica C de matriz A a la recta de ecuación
Si el punto P está en la...
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