Secciones conicas y rectas en r3

INTRODUCCION
En el siguiente trabajo se hablara acerca de las secciones cónicas en la cual se darán una serie de ejercicios resueltos que servirán de ayuda para realizar futuros problemarios, también se desarrollara el tema denominado Rectas en R3 en el cual está implícito las operaciones con vectores, suma de vectores en R3, vector libre entre otros puntos que se desarrollaran con más amplituda continuación.

SECCIONES CONICAS
Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono que no pasa por su vértice.
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Si b = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.

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Si b > a y b < 90º se obtiene una elipse tanto más alargada cuanto menor (más próximo a a) sea el ángulo b.

Si b = a el plano esparalelo a una de la generatrices y se obtiene una curva abierta llamada parábola.

Si b < a entonces, tanto en los casos en que el plano corta al eje, como cuando es paralelo a él , se obtiene una curva con dos ramas abiertas llamada hipérbola.

Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte.Por ejemplo, las órbitas de los planetas y cometas en su rotación alrededor del Sol son cónicas; los faros de los coches tienen sección parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, debido a que en la parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa.

Expresión analítica de las cónicas

Desde un punto de vista analítico sepuede definir cónica como la curva que responde a una ecuación del tipo: Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Los valores que toman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cónica y su posición en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valores cualesquiera, además de los cuatro tipos de cónicas, se obtienen cónicas degeneradas e incluso cónicas imaginarias.

Cónicas degeneradasLas cónicas propiamente dichas son las que ya se han descrito: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Sin embargo, desde un punto de vista matemático conviene a veces considerar como cónicas las figuras que se obtienen al cortar la superficie cónica mediante planos que pasan por su vértice. A estas figuras se les llama cónicas degeneradas. Según esto, una recta, un par de rectas, o inclusoun punto, serían cónicas degeneradas.
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Punto
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Línea
Línea doble

Ejemplos de ejercicios
* Dada la parábola que tiene por ecuación 
x2 = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva y trazar la gráfica.
Solución:
la ecuación x2 = -6y tiene la forma de la ecuación (4) del teorema 1.
Entonces,2p = -6, de donde p= -3 < 0.
| Como p < 0, la parábola se abre hacia abajo.
El foco se encuentra sobre el eje y en el punto F (0, -p/2).
La ecuación de la directriz es la recta , 
es decir,  |

* Dado el punto del plano B(a, b) con a, b > 0. Demostrar que por el punto B pasa la parábola  (1).
Determine el foco y la ecuación de la directriz
Solución:
Como se sigue queel punto B(a, b) satisface la ecuación (1) y por lo tanto B pertenece a la parábola.
| Ahora, de acuerdo a la parte ii del teorema 1. con lo cual  En consecuencia, el foco se encuentra localizado 
en el punto  y la ecuación de la directriz 
es la recta  |

* Dada la ecuación (y’)2 = 4x’, referida al sistema x’-y’ en donde el nuevo origen es el punto (2, 3). Hallar la ecuación de lagráfica en términos de x e y.
Solución:
La ecuación (y’)2 = 4x’ representa en el sistema x’-y’ una parábola con vértice en O’(2, 3). La  parábola  se abre hacia la derecha  y  además  2p = 4, de  donde p = 2.  Con lo cual
= distancia del vértice al foco.
 
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Dado que O’ (2, 3) se deduce de las relaciones (1) y (2) de la sección 6.1.2. que:
de donde 
 
Sustituyendo los valores...