rectas y planos

SISTEMA DE COORDENADA RECTANGULAR EN EL ESPACIO
EJES COORDENADOS
EJE X: Es determinado por la intersección de los planos Pxy ; Pxz
EJE Y: Es determinado por la intersección de los planos Pxy ; Pyz
EJE Z: Es determinado por la intersección de los planos Pyz ; Pxz

PLANOS COORDENADOS
Son determinados por los ejes coordenados
PLANO XY o Pxy : es determinado por los ejes X e YPLANO XZ o Pxz : es determinado por los ejes X e Z
PLANO YZ o Pyz : es determinado por los ejes X e Y











DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia no dirigida entre dos puntos p1( x1, y1, z1 ) y P2( x2, y2, z2 ) del espacio tridimensional esta dado por :







ECUACIONES DEL PLANO
Sea un plano determinado por uno de sus puntos P0 = ( X0, Y0, Z0 ), ydados los vectores no coloniales a1, a2, a3 ) y = ( b1, b2, b3 ) de V3 paralelos a . sea P = ( x, y, z ) un punto generico de R3 entonces se tiene: P  si y solo si , r, t  R
P = P0 + o tambien











ECUACIONES PARAMETRICAS DEL PLANO
Reemplazando P y P0 por sus coordenadas y los vectores y por sus componentes, dados en la formula vectorial, obtenemos:
(x, y,z) = ( x0 + ra1 + tb1, y0 + ra2 + tb2, z0 + ra3 + t b3 ), de donde:
x = x0 + r a1 + t b1
y = y0 + r a2 + t b2
z = z0 + r a3 + t b3

VECTOR NORMAL A UN PLANO
Consideremos el plano / r, t  R , todo vector no nulo de V3, que sea ortogonal a ambos vectores, se llama Vector normal al plano

OBSERVACION
Como es ortogonal a los vectores y , entonceses una normal al Plano


ECUACION VECTORIAL- NORMAL DEL PLANO
Para todo vector No nulo de V3 y para todo punto P0 de R3, .(P - P0 ) = 0, es una ecuación vectorial – normal de un plano que pasa por P0 con normal

ECUACION GENERAL DEL PLANO
Sea El plano que pasa por el punto P0 = ( x0, y0, z0 ) y tiene al vector no nulo = ( A, B, C ) como una de sus normales,entonces reemplazando las coordenadas respectivas en .(P - P0 ) = 0, resulta Ax + By + Cz + D = 0, donde D = - ( Ax0 + By0 + Cz0 ) = y A2 + B2 + C2  0

PLANOS PARALELOS – PLANOS ORTOGONALES – ANGULO ENTRE PLANOS
a) Dos planos son paralelos, si sus normales son paralelos
b) Dos planos son ortogonales, si sus normales son ortogonales
c) El ángulo entre dos planos,es el ángulo entre sus normales

PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD ENTRE PLANO Y RECTA
a) Una recta L es paralela a un plano , si un vector director de L es ortogonal a una normal a .
b) Una recta L es ortogonal a un plano si un vector director de L es paralelo a una normal a .

OBSERVACION
Si L // P entonces L  P o L  P = 

ANGULO ENTRE RECTA Y PLANO
Sea la ecuación de una rectaL =  P0 + t / t  R  y la ecuación general
del plano P: Ax + By + Cz + D = 0,
con = ( A, B, C ), se define:









ANGULO ENTRE DOS PLANOS

Consideremos las ecuaciones generales de dos planos P1: A1x + B1y + C1z + D1, cuya normal = (A1, B1, C1) , y P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0, cuya normal es = (A1, B1, C1),
el ángulo  formado porlos planos P1, P2
es igual al ángulo entre sus vectores
normales y respectivamente
y es dado por la expresión.





POSICIONES ENTRE DOS RECTAS , PLANO Y RECTA
A) Si dos rectas son paralelas, entonces ellas coinciden o su intersección es el conjunto vacio
B) Si dos rectas no son paralelas, entonces su intersección es vacio o consistente en solo punto
C) Si un recta y un planoson paralelos, entonces la recta esta contenida en el plano o su intersección es vacio
D) Si un recta y un plano no son paralelos, entonces su intersección consiste en un solo punto

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
Consideremos Q = ( X0, Y0, Z0 ) y la ecuación general de : Ax + By + Cz + D = 0, y sea P1 = ( x1, y1, z1 ) un punto de , entonces se define la distancia de un punto a un...