rectilineo otros datos

CINEMÁTICA:
MOVIMIENTO RECTILÍNEO,
OTROS DATOS.
Una partícula se mueve en la dirección positiva del eje X, de modo que su velocidad varía
según la ley v = α x donde α es una constante. Teniendo en cuenta que en el momento t = 0
se encuentra en x = 0. Determinar a) la velocidad y aceleración en función del tiempo, b) la
velocidad media de la partícula en el tiempo en el cual recorre los s primerosmetros.
Solución: I.T.I. 97, I.T.T. 97, 03
a) Para determinar la posición en función del tiempo operamos de la siguiente forma:

dx
=α x
dt

dx
= α dt
x

⇒

Integrando imponiendo las condiciones iniciales del movimiento en los límites de
las integrales tenemos que:
x

t

⌠ dx
⎮ x = ∫ α dt
⌡
0

⇒

2 x = αt

x (t ) =

⇒

1 22
α t
4

0

Se trata por lo tanto de un movimiento uniformemente aceleradodonde la velocidad
y la aceleración vendrán dadas por:

v (t ) =

dx
=
dt

1 2
α t
2

a=

dv
=
dt

1 2
α
2

b) Como la velocidad es siempre positiva, y el móvil partió del origen, la distancia
recorrida en función del tiempo es igual en todo momento a la coordenada x del
movil:
t

t

s(t ) = ∫ v dt = ∫ vdt =
0

0

1 22
α t = x (t )
4

t=

⇒

2
s
α

La velocidad media en el intervalo en que harecorrido la distancia s será:
vm =

Física

Δx x ( t) − 0 s(t )
s
=
=
=
=
2
Δt
t−0
t
s
α

Tema

α
2

s

Página 1

En la siguiente gráfica se muestra la evolución de la velocidad en función de su posición en la
carrera de 100 m lisos que el atleta Maurice Greene (entonces recordman de la distancia con
9.79 s) realizó en los campeonatos de atletismo de Sevilla 1999. Ayudándose de esta gráfica:
a)Dibuje una gráfica aproximada de su aceleración en función de su posición, b) Calcule los
tiempos parciales cada 10 m y utilice esto para dibujar gráficas de posición, velocidad y
aceleración en función del tiempo, c) Por último indique por cuanto no batió el récord
mundial.

Solución: I.T.I. 99, 02, 05, I.T.T. 99, 02, 05
Construyamos la siguiente tabla de valores:

x

V (km / h)

V (m / s)

V 2 (m 2/ s 2 )

a (m / s 2 )

Δt (s)

0

0

0

0

10

19.36

5.378

28.92

1.446

3.719

20

34.95

9.708

94.25

3.267

1.325

30

39.13

10.869

118.14

1.195

0.972

40

40.89

11.358

129.01

0.543

0.901

50

40.89

11.358

129.01

0

0.880

60

42.84

11.900

141.61

0.630

0.860

70

42.33

11.758

138.26

−0.168

0.845

80

42.33

11.758

138.26

0

0.850

90

42.33

11.758

138.26

0

0.850100

41.86

11.628

135.21

−0.153

0.855

Para calcular las aceleraciones hemos hecho la suposición de que en cada tramo la
aceleración es constante y tenemos un movimiento uniformemente acelerado:
Física

Tema

Página 2

2
v n+1
= v 2n + 2a ( x n+1 − x n )

Para calcular los tiempos utilizamos que en el movimiento uniformemente acelerado:

Δv
a

Δt =

(salvo si la aceleración es nula, en ese casoutilizamos Δt =

Δx
)
v

Si sumamos todos los intervalos de tiempo de la tabla anterior nos sale un tiempo total
de 12.06 s, bastante mayor que el tiempo real invertido por el corredor durante la carrera
que fue de 9.80 s (se quedo a una centésima del récord mundial en aquel momento que
él mismo ostentaba). Esto nos indica que la aproximación de movimiento rectilíneo
uniformemente aceleradoutilizada para la construcción de la tabla anterior no es del
todo correcta, sobre todo en los primeros instantes de la carrera (¡no es creíble un
tiempo de casi cuatro segundos para recorrer los primeros diez metros!).
Las gráficas aproximadas que nos piden serán (utilizando los valores de la tabla):
2

x (m )

a (m / s )

x (m )

t (s)
2

v (m / s)

a (m / s )

€

t (s)

Física

t (s)

Tema

€Página 3

Un movimiento viene definido por a = −k v (k = cte.), siendo coincidentes los orígenes de
espacio y tiempo y estando animada la partícula en ese instante por una velocidad v0.
Expresar velocidad en función del tiempo, el espacio en función del tiempo y la velocidad en
función del espacio. Representar gráficamente estas dependencias.
Solución: I.T.I. 98, 99, 02, 03, 05, I.T.T. 99, 02, 05
La...