Red de adelanto y atraso por lugar de raices

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COMPENSACIÓN DE ATRASO-ADELANTO
De las dos formas de compensación analizadas anteriormente podemos concluir:
La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa laestabilidad del sistema
La compensación de atraso mejora la precisión en estado estable del sistema, pero reduce la velocidad de la respuesta.
Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estable, debe usarse en forma simultánea un compensador de adelanto y un compensador de atraso. Sin embargo, en lugar de introducir un compensador de adelanto y un compensador deatraso, ambos como elementos separados, es más económico sólo usar un compensador de atraso adelanto.
Dado que el compensador de atraso adelanto posee dos polos y dos ceros, tal compensación aumenta en dos el orden del sistema, a menos que ocurra una cancelación de polos y ceros en el sistema compensado.

Compensador electrónico de atraso-adelanto usando amplificadores operacionales
La figuramuestra un compensador electrónico de atraso adelanto que usa amplificadores operacionales. La función de transferencia para este compensador se obtiene del modo siguiente:

Figura Nº

Hallando la función de transferencia de la red de atraso adelanto en base a operaciones, hallamos primero:
1/Z_1 =1/R_3 +1/(R_1+1/〖sC〗_1 )=1/R_3 +〖sC〗_1/(〖〖sC〗_1 R〗_1+1)=(〖〖sC〗_1 R〗_1+1+〖sC〗_1 R_3)/(R_3 (〖〖sC〗_1R〗_1+1) )
Por lo tanto:
Z_1=(R_3 (〖〖sC〗_1 R〗_1+1))/(〖sC〗_1 (R_1+R_3 )+1)
El otro factor Z_2 lo hallamos por el mismo procedimiento, obteniendo:
Z_2=(R_4 (〖〖sC〗_2 R〗_2+1))/(〖sC〗_2 (R_2+R_4 )+1)
Por lo tanto la función de transferencia (E_i (s))/(E(s)) es igual a:
(E(s))/(E_i (s))=-Z_2/Z_1 =((R_4 (〖〖sC〗_2 R〗_2+1))/(〖sC〗_2 (R_2+R_4 )+1))/((R_3 (s〖C_1 R〗_1+1))/(〖sC〗_1 (R_1+R_3 )+1))=-R_4/R_3(〖sC〗_1 (R_1+R_3 )+1)/((〖〖sC〗_1 R〗_1+1) ) ((〖〖sC〗_2 R〗_2+1))/(〖sC〗_2 (R_2+R_4 )+1)
La función de transferencia (E_0 (s))/(E(s)), para el último amplificador será:
(E_0 (s))/(E(s))=-R_6/R_5
Por lo tanto la función de transferencia de todo el circuito (E_0 (s))/(E_i (s)), será:
(E(s))/(E_i (s)) (E_0 (s))/(E(s))=-R_4/R_3 (〖sC〗_1 (R_1+R_3 )+1)/((〖〖sC〗_1 R〗_1+1) ) ((〖〖sC〗_2 R〗_2+1))/(〖sC〗_2(R_2+R_4 )+1) (-R_6/R_5 )
Reescribiendo:
(E_0 (s))/(E_i (s))=R_4/R_3 R_6/R_5 [((R_1+R_3 ) C_1 s+1)/(R_1 C_1 s+1)][(R_2 C_2 s+1)/((R_2+R_4 ) C_2 s+1)]
O de una forma simplificada:
(E_0 (s))/(E_i (s))=K [(T_1 s+1)/(T_1/γ s+1)][(T_2 s+1)/(βT_2 s+1)]
Donde:
T_1=(R_1+R_3 ) C_1
T_1/γ=R_1 C_1
T_2=R_2 C_2
βT_2=(R_2+R_4 ) C_2
K=R_4/R_3 R_6/R_5
Ademas se puede obtener:
γ=T_1/(R_1 C_1)=((R_1+R_3 ) C_1)/(R_1 C_1 )=(R_1+R_3)/R_1
β=((R_2+R_4 ) C_2)/T_2 =((R_2+R_4 ) C_2)/(R_2 C_2 )=(R_2+R_4)/R_2
Otra forma de la red de compensación:
(E_0 (s))/(E_i (s))=K (T_1 T_2)/(T_1/γ βT_2 ) [(s+1/T_1 )/(s+1/(T_1/γ))][(s+1/T_2 )/(s+1/(βT_2 ))]=K γ/β [(s+1/T_1 )/(s+1/(T_1/γ))][(s+1/T_2 )/(s+1/(βT_2 ))]
Reemplazando los valores de las variables tenemos:
(E_0 (s))/(E_i (s))=R_4/R_3 R_6/R_5(((R_1+R_3 ) C_1)/(R_1 C_1 ))/(((R_2+R_4 ) C_2)/(R_2 C_2 )) [(s+1/T_1 )/(s+1/(T_1/γ))][(s+1/T_2 )/(s+1/(βT_2 ))]=R_2/R_1 R_4/R_3 R_6/R_5 ((R_1+R_3 ))/((R_2+R_4 ) ) [(s+1/T_1 )/(s+1/(T_1/γ))][(s+1/T_2 )/(s+1/(βT_2 ))]
(E_0 (s))/(E_i (s))=K_c [(s+1/T_1 )/(s+1/(T_1/γ))][(s+1/T_2 )/(s+1/(βT_2 ))]
Donde
K_c=R_2/R_1 R_4/R_3 R_6/R_5 ((R_1+R_3 ))/((R_2+R_4 ) )
1/T_1 =1/((R_1+R_3 ) C_1)
1/(T_1/γ)=γ/T_1 =1/(R_1 C_1 )
1/(βT_2 )=1/((R_2+R_4 ) C_2 )
1/T_2 =1/(R_2 C_2 )
Se debe anotar que con frecuencia βigual a γ

Técnicas de compensación de atraso-adelanto basadas en el enfoque del lugar geométrico de las raíces.
Considere el sistema de la figura Nº . Suponga que usamos el compensador de atraso adelanto:

Figura Nº

Cuya función de transferencia del...
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