regla de la cadena

Regla de la cadena
En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existecomposición de funciones.
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Descripción de la regla
En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón decambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.
Descripción algebraica
Entérminos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si es diferenciable en y es una función diferenciable en , entonces la función compuesta es diferenciable en yNotación de Leibniz
Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

donde indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.
Demostración dela regla de la cadena
Sea

Esto es entonces

Aplicando la definición de derivada se tiene

Donde queda

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre



Ejemplos deaplicación
Ejemplo conceptual
Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor aelevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.
Estecálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.
Ejemplo algebraico
Por ejemplo si y = f(u) es una función derivable de u y si además u = g(x) es una función derivable de x entonces y = f(g(x))es una función derivable con:

o también

Ejemplo 1


y queremos calcular:

Por un lado tenemos:

y

si:

entonces:

Si definimos como función de función:


resulta...