Regla de la cadena

REGLA DE LA CADENA O DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS
Objetivo.
Derivar funciones compuestas
Recordando…
Antes de iniciar la lectura responde:
¿Cuál es la definición de función compuesta?
¿Qué se debe hacer para componer dos funciones?
¿Cómo se pueden diferenciar la función externa de la interna?
Introducción.
Al método para derivar funciones compuestas se le conoce como regla de lacadena.
Para poder derivar el primer paso es distinguir entre una función y una función compuesta, ya que ambas se derivan de diferentes formas.
Actividad # 1: En el siguiente cuadro se presentan ejemplos de funciones y funciones compuestas, en cada caso identifica la función interna.
Funciones
Funciones compuestas
¿En cada caso, cuál es la función interna?Derivada de funciones compuestas.
Al estudiar funciones, se definió a la composición como una operación que permite obtener una nueva función a partir de una o más conocidas y consiste en evaluar una función en otra, es decir .
En consecuencia para derivar este tipo de funciones se debe derivar las dos funciones, la función interna g y la función externa f, por medio de la regla de lacadena la cual se enuncia a continuación:
Regla de la cadena
Si y=f(x) , y=g(x) son ambas derivables, entonces su composición fog=f(g(x)) es una función derivable y su derivada viene dada por:
(fog)’ = f’(g(x)) . g’(x)



Regla de la cadena en notación de Leibniz
Si y=f(t) , y además t=g(x) son dos funciones diferenciables, entonces:



Observaciones:
En ambos caso se estáexpresando la derivada de la misma función. En el primero, la función compuesta ya está dada en términos de la variable independiente x, mientras que en el segundo, la variable y depende de t, y a su vez t depende de la variable independiente x, pero se trata de la misma función porque al sustituir t, se obtiene f(g(x)).
La composición se puede hacer con dos o más funciones, la regla se aplica delmismo modo hasta derivar la función más interna de todas.
Ejemplos:
1. Derive la siguiente función
Derivada
Planificación y argumentación al derivar
Derivo:

Ordenando:


Antes de derivar:
Estudio las características de la función, para ello me pregunto:
¿se puede escribir de otra forma? No
¿existen dos o más funciones que al componerlas da esa función? Sí , ,
¿cuál es laexterna?
¿cuál es la interna?
Mientras derivo:
Aplico la regla, la cual he enunciado como: “derivo la función externa manteniendo la interna tal cual y la multiplico por la derivada de la interna”
derivo la función externa manteniendo la interna: cos(x3)
derivada de la interna: 3x2
multiplico: cos(x3). 3x2
Después de derivar:
¿Puedo hacer alguna simplificación? No
¿Puedo escribir la funciónde otra forma? Sí, usando identidades trigonométricas, dado el enunciado del ejercicio no es necesario, pues sólo pide derivar.
¿Está bien derivado? Sí


2. Derive la siguiente función
Derivada
Planificación y argumentación al derivar
Derivando:

Ordenando:

Simplificando:
Una forma (usando identidad fundamental):

Otra forma (usando identidad de ángulo doble):

Antes de derivar:Estudio las características de la función, para ello me pregunto:
¿se puede escribir de otra forma? Sí ,
¿existen dos o más funciones que al componerlas da esa función? Sí , ,
¿cuál es la externa?
¿cuál es la interna?
Mientras derivo:
Aplico la regla, la cual he enunciado como: “derivo la función externa manteniendo la interna tal cual y la multiplico por la derivada de la interna”derivo la función externa manteniendo la interna, es decir derivo la potencia manteniendo la misma base:
derivada de la interna, que es el coseno:
multiplico: .
Después de derivar:
¿Puedo hacer alguna simplificación? Sí
¿Puedo escribir la función de otra forma? Sí, dado el enunciado del ejercicio no es necesario, en otra situación seleccionaré la que más me convenga.
¿Está bien...