regla de la cadena

CALCULO DIFERENCIAL

3.1.

REGLA DE LA
PARAMETRICAS.

CADENA

Y

ECUACIONES

Regla de la cadena
La regla para calcular la derivada de la composición de dos funciones establece que la
derivada de su composición es el producto de las derivadas. Este enunciado es conocido
como la regla de la cadena.
Ejemplo: Una partícula se mueve a lo largo de la recta y = 5 x − 2 de manera que su
coordenada x enel tiempo t es x = 3 t . Calcular

dy
dt

como función de t,

y = 5 x − 2 = 5( 3 t ) − 2 = 15 t − 2
Por lo tanto,

dy d
= ( 15 t − 2 ) = 15
dt dt
Nótese que:

dy
=5
dx

dx
=3
dt

y

dy
dy dx
= 3× 5 =
dt
dx dt
En otras palabras la regla de la cadena define que si dos funciones son continuas, la
derivada de la composición de las dos funciones será el producto de sus derivadas.

Regla de la CadenaRegla No.3.10

Suponiendo que h = g ° f es la composición de las
funciones diferenciables y = g ( x) y x = f ( x ) .
Entonces, h es una función diferenciable de t cuya
derivada en cada valor de t es:

h(t ) = g ' ( f (t )) × f ' (t )

La particularidad de esta formula es que establece la forma como se debe evaluar la
derivada, existen otras formulas para evaluar la derivada de la composición,
3.-Derivadas Algebraicas

CALCULO DIFERENCIAL

dy dy dx
=
dt dx dt
Otra es,

dy
dy
=
dt t dx

f (t )

dx
dt t

Demostración de la Regla de la Cadena
Si x = f (t ) es diferenciable en t 0 entonces un incremento ∆t produce otro incremento

∆x
tal que:

∆x = f ' (t 0 )∆t + ε 1 ∆t = [ f ' (t 0 ) + ε 1 ]∆t

y, si y = g ( x ) es diferenciable en x = f (t 0 ) entonces un incremento ∆x produce otro
incremento∆y tal que:

∆y = g ' ( x0 )∆x + ε 2 ∆x = [g ' ( x0 ) + ε 2 ]∆x

Estas dos ecuaciones relacionan los incrementos ∆x

y ∆y con sus aproximaciones de
la recta tangente, en estas ecuaciones ε 1 → 0 . cuando ∆t → 0 , y ε 2 → 0 cuando
∆x → 0 .

Combinando estas dos ecuaciones se tiene:

∆y = [g ' (x0 ) + ε 2 ]∆x = [g ' (x0 ) + ε 2 ] [ f ' (t 0 ) + ε 1 ]∆t
Dividiendo todo por ∆t

∆y
= [g ' ( x 0 ) + ε2 ] [ f ' (t 0 ) + ε 1 ]
∆t
∆y
= g ' ( x 0 ) f ' (t 0 ) + ε 2 f ' (t 0 ) + ε 1 g ' ( x 0 ) + ε 1ε 2
∆t

Cuando ∆t → 0 , también lo hacen ∆x, ε 1 , y ε 2 , y resulta:

∆y
= g ' ( x0 ) f ' (t 0 ) = g ' ( f (t 0 )) f ' (t 0 )
∆t → 0 ∆t

Lim
Ejemplo:
Hallar

dy
dt

en t = −1 , si: g ( x ) = y = x 3 + 5 x − 4 , y f ( t ) = x = t 2 + t

3.- Derivadas Algebraicas

CALCULO DIFERENCIAL

Según la expresión:

dy
dy
=
dt t =1 dx

dy
dy
=
dt t dx

x = f ( −1)

f (t )

dx
, se tiene:
dt t

dx
= ( 3 x 2 + 5 ) ( 2t + 1) t =−1 = ( 5 )( −1) = −5
x =0
dt t =−1

Ejercicios :
1

f ( x) =

3

y = ( 2x +1 )

5

y = ( x2 + 1 )

7

1
y= t−
t

9

s (t ) =

x2 + 1

4

3

5

(x
3

3

− x +1 )

x2 + 2

2

t3 +1
t3 −1

4

2

y = ( x3 − 1 )

4

y = ( 2x − 5

6

y = ( x3 + 4 x

8

y=

(t

100

)

4

)

( 8x

2

−5

)−3

7

1

2

10 f ( z ) =

− 2t − 5 )
5

4

1
2z −1

Ecuaciones Paramétricas
En lugar de escribir una curva expresando la coordenada y de un punto P( x, y ) de la
curva en función de x, frecuentemente es más conveniente expresar ambas coordenadas
en función de una tercera variable.

x = f (t )

y = g (t )

Esta ecuaciones se conocen con el nombre de ecuaciones Paramétricas y la variable t
esconocida como el parámetro.

dy dy dx
=
dt dx dt
Expresión que también puede expresarse como:

dy dy dt
=
dt dx dt
Lo anterior implica resolver la derivada de cada una de las funciones con relación al
parámetro.

3.- Derivadas Algebraicas

CALCULO DIFERENCIAL

d
( g (t ))
dt

d
(h(t ))
dt

y

Ejemplo:
Dada la siguiente función definida por las ecuaciones paramétricas x = t − t 2 y y = t − t 3 ,determinar su derivada.

dx
= 1 − 2t
dt
dy
= 1 − 3t 2
dt

Derivando a x

Derivando a y

dy
(1 − 3t 2 )
dy
= dt =
dx dx
(1 − 2t )
dt

Por definición.

Derivadas segundas en forma Paramétrica:
Si se tiene que:

x = f (t )

y = g (t ) = g (h(t ))

Definen a y como una función de x dos veces diferenciable, entonces es posible calcular:

dy dt
dy
= y' =
dx
dx dt
lo que permite definir la segunda derivada...