Regla De L`Hopital: Ejercicios

FORMAS INDETERMINADAS Regla de L’Hópital Sean f y g funciones que verifican las siguientes condiciones: 1) 2) 3) 4) 5) f y g son continuas en [a, b] f y g son derivables en (a, b) salvo quizás en x0(x0 ∈ (a, b)) g’(x) ≠ 0 x ∈ (a, b) ∃

f' o(x) lím x x g' 0 0(x)

L

g(x0 )

f(x0 )

0

Si lo anterior es cierto, entonces se cumple que:

f f' (x ) (x ) 0 0 = lím lím x x g x x g' 0 (x )0 (x ) 0 0

L

La regla de L'Hopital es un método que utiliza para poder encontrar el valor de un límite en caso que éste nos llevase a un valor indefinido al evaluarlo. La regla consiste derivarnumerador independiente, es decir sin aplicar la regla de derivada de un cociente y el denominador al encontrarnos con las siguientes formas indeterminadas:
0 0 ò

0 0 ; 1 ; 0* ; 0 ; ; 0 Para loscasos como: que son formas indeterminadas, se utilizan métodos algebraicos para convertir la expresión a una de las formas indeterminadas

0 0

ò

Es importante evaluar el límite antes deaplicar esta regla ya que algunos pueden aparentar tender a valores indefinidos pero pueden ser fácilmente resueltos al simplemente evaluar los valores en el límite. Si una función toma para ciertos valoresde la variable una de las formas siguientes:

0 ; 0

;0 * ;

;0 0 ;

;1 , entonces decimos que es indeterminada.
x2 4 y el x 2 x2 4 = x 2

Si se tiene Y = f(x) =

( x 2)(x 2) x 2

4 ,en este

caso fue fácil evitar la discontinuidad presentada, pero no siempre es así, por eso cuando tenemos expresiones más complejas, aplicamos la regla de L`Hopital. Teorema: Dadas f y gfunciones diferenciables en un intervalo abierto I, excepto posiblemente en el número a en I, y supongamos que para toda x a en I, g`(x) 0. Entonces, si límite cuando x tiende a “a” de f(x) es más o menosinfinito y límite cuando x tiende a “a” de g(x) = más o menos infinito y si limite cuando x tiende a “a” del cociente de las respectivas derivadas de las funciones existe, entonces el límite cuando x...