Regla De L^Hopital

INTRODUCCIÓN

A lo largo del tiempo la humanidad ha tratado de dar respuesta y solución a los diferentes problemas planteados por su diario vivir, las matemáticas entre muchas otras ciencias han sido parte importante de este proceso, es así como el cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad, aunque hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurezsocial, científica y matemática que permitiera construir el calculo que conocemos en nuestros días.
Este trabajo trata específicamente de la regla de L’Hopital, formulada por el matemático francés Guillaume François Antoine, marqués de L’Hôpital, la cual se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice quese deriva el numerador y el denominador, por separado; esta regla fue dada a conocer en su obra analyse des infinimetpetitspourl’intelligence des lignescourbes, el primer libro que se ha escrito sobre calculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli quien fue quien la desarrolló y demostró. La regla de L’Hôpital-Bernoulli es una consecuencia del “teorema delvalor medio de Cauchy” que se da solo en el caso de las indeterminaciones del tipo 00 ó ∞∞

OBJETIVOS

* Comprender el uso de la regla de L’Hôpital y su aplicación en los limites indeterminados de tipo 00 ó ∞∞

* A partir de la realización de ejercicios aprender a manejar de manera óptima la regla de L’Hôpital, acorde con el tipo de indeterminación que se presente.

*Conocer el contexto dentro del cual se generó esta regla.



REGLA DE L’HÔPITAL

En 1961 Johann Bernoulli, escritor de varios textos sobre el cálculo diferencial e integral, viajó a París donde conoció al marqués de L’Hôpital quien lo contrató para que le impartiera clases de cálculo diferencial; después de varias sesiones educativas Bernoulli enseña al marqués una regla de diferenciaciónpara formas indeterminadas de los límites, tiempo más tarde L’Hôpital se dedicó a escribir su primer libro analyse des infinimetpetitspourl’intelligence des lignescourbes, en cuya introducción admite que parte del trabajo se lo debe a Bernoulli y Leibniz y hace hincapié en haberse servido libremente de sus descubrimientos. Poco después Bernoulli recibe un ejemplar del libro cuyo remitente es elmismo autor, como muestra de agradecimiento, Bernoulli le envía una carta en donde no mencionaba ningún tipo de reclamo y promete devolver la mención en su próxima publicación.
En 1698 Bernoulli envía una carta a Leibniz donde muestra su sentimiento de fraude debido al plagio de sus notas, pero solo hasta la muerte de L’Hôpital, Bernoulli se siente libre para realizar declaraciones públicasacerca de los resultados presentados por L’Hôpital, pero en 1728 año en que murió las dudas quedaban en pié.
El panorama empieza a cambiar en 1922 cuando aparece un tratado escrito por Bernoulli donde se dan a conocer las semejanzas entre su escrito y el de L’Hôpital, sin embargo, en 1955 se da el hallazgo de mayor importancia sobre este dilema, una carta remitida por L’Hôpital donde proponía aBernoulli la exclusividad de sus resultados a cambio de algunas monedas.
No se sabe si Bernoulli accedió a la respuesta, pero su juventud y falta de empleo indican que lo hizo.
En matemática, específicamente en el cálculo diferencial, la regla de L’Hôpital es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada. Esta regla es una consecuencia delteorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo 00 ó ∞∞

TEOREMA REGLA DE L’HOPITAL

Sean f y g funciones diferenciables para toda x>N, donde N es una consatante positiva, y supongamos que para toda x>N, g’(x)≠0. Entonces, si limx→∞fx=0 y limx→∞gx=0 y limx→∞f’xg’x=L concluimos que limx→∞f(x)g(x)=l.
Es válido si cambiamos +∞ por-∞
00...