La regla de l`hopital

|
   | IntroducciónLa regla de L'Hopital es un método que se le atribuye al matemático francés Guillaume Francois de L'Hopital (1661-1707). Este escribió el primer libro de cálculo conteniendo su método, junto con J. Bernoulli. Fue publicado en 1696. Este método nos permite calcular ciertos límites que con los procedimientos estudiados anteriormente no era posible resolver. Así, al evaluarlímites de la forma en algunos casos se podía aplicar el teorema para el límite de un cociente:  siempre que  Aún cuando  y , a veces es posible determinar. Por ejemplo el  que es de la forma  puede escribirse como  Sin embargo, existen límites como  en los que tanto el numerador como el denominador tienden a cero cuando  tiende a 2, para los que no hemos dado ningún procedimiento que permitadeterminar su valor. El siguiente teorema llamado Regla de L'Hopital proporciona el instrumento adecuado para la evaluación de tal tipo de límites.  |

El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newtony Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
1. Tasa de variación media
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer
f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] =  
Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función
f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]
Solución
T.V.M. [0, 2] = 
 
Ejercicio 1. Calcular b para que la tasa de variación media de la función f(x) = ln(x+b) en el intervalo [0,2] valga ln2.
2. Tasa de variación instantánea. La derivada
Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en elintervalo [a, a +h] sería .
 
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
=
Si f tiene derivada en el punto a sedice que f es derivable en a.
Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:

Ejercicio 2. Hallar la derivada de la función f(x) = -x2 +4x   el punto de abscisa x =1.
Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para  h>0 o h<0. Si existen los doslímites laterales y coinciden la función es derivable.
Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función  en x =0 son 1 y –1.
       
 
Luego la función valor absoluto no es derivable en el 0.
 
Proposición. Toda. función derivable en un punto es continua en dicho punto.
El recíproco es falso.
Ejemplo 2.  es continua en 0, pero no es derivable en 0.
Aplicación física de la derivada
        Consideremos la función espacio E= E(t).
         La tasa de variación media de la función espacio en  el intervalo  [t0, t]  es:  vM(t)=, que es lo que en Física llaman la  velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:
La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.
Ejercicio 3. La...