Regla de L´Hospital

ANÁLISIS MATEMÁTICO
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Regla de L´Hospital
La Regla de L´Hospital recibe este nombre en honor de un noble francés, el marqués de
L´Hospital (1661-1704), pero fuedescubierta en 1694 por el matemático suizo John Bernoulli
(1667-1748). La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de negocios por
medio del cual el marqués de L´Hospital compró losderechos de los descubrimientos matemáticos
de Bernoulli. Esta regla apareció impresa por primera vez en el libro Analyse des Infiniment Petits,
publicado por el Marqués de L´Hospital en 1696. Fueel primer libro de texto de cálculo alguna vez
publicado y el ejemplo que allí utilizó el marqués para ilustrar su regla fue:

x lím a

2 ⋅ a3 ⋅ x − x4 − a ⋅ 3 a2 ⋅ x
a − 4 a ⋅ x3

Regla deL´Hospital: Supóngase que f y g son dos funciones derivables y que
g´( x ) ≠ 0 cerca de a (excepto quizás en a). Si:
x

líma f (x) = 0

y

x

líma g(x) = 0

x

líma g(x) = ±∞

ó
xlíma f (x) = ±∞

y

entonces:

líma
x

f (x)
f ´(x)
=x líma
g(x)
g´(x)

si el límite del segundo miembro existe (o es infinito).

La Regla de L´Hospital afirma que el límite de uncociente de funciones es igual al
límite del cociente de sus derivadas, siempre que se satisfagan las condiciones previas
(indeterminaciones del tipo

0
∞
o bien ). Es muy importante comprobar lascondiciones
0
∞

referentes a los límites de f y g , antes de aplicar la regla.
La Regla de L´Hospital también es válida para los límites laterales y los límites en el

± ∞ ; es decir, x → ase puede reemplazar con cualquiera de los símbolos siguientes:

x → a + , x → a − , x → +∞, x → −∞.
Resuelva los siguientes límites indeterminados

a)

lnx
lím
x
1
x −1

e)

ex − 1lím0
x
senx

b)

ex
lím∞ 2
x
x

f)

tg x
límπ
x
π−x

c)
g)

lnx
lím
x
∞ 3
x

d)

x
lím∞
x
ln(1 + 2ex )

h)

x2 − 1
lím−1
x
x +1
x

lím∞

(lnx)3
x2...