Regresion Lineal

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

En el estudio de la relación funcional entre dos variables poblacionales, una variable X, llamada independiente, explicativa o de predicción y una variable Y, llamada dependiente o variable respuesta, presenta la siguiente notación:
Y = a + b X + e
Donde:
“a” es el valor de la ordenada donde la línea de regresión se intercepta con el eje Y.
“b” es el coeficiente deregresión poblacional (pendiente de la línea recta)
“e” es el error
SUPOSICIONES DE LA REGRESIÓN LINEAL
1. Los valores de la variable independiente X son fijos, medidos sin error.
2. La variable Y es aleatoria
3. Para cada valor de X, existe una distribución normal de valores de Y (subpoblaciones Y)
4. Las variancias de las subpoblaciones Y son todas iguales.
5. Todas lasmedias de las subpoblaciones de Y están sobre la recta.
6. Los valores de Y están normalmente distribuidos y son estadísticamente independientes.
ESTIMACIÓN DE LA ECUACIÓN DE REGRESIÓN MUESTRAL
Consiste en determinar los valores de "a" y "b " a partir de la muestra, es decir, encontrar los valores de a y b con los datos observados de la muestra. El método de estimación es el de MínimosCuadrados, mediante el cual se obtiene:

Luego, la ecuación de regresión muestral estimada es

Que se interpreta como:
“a” es el estimador de a
Es el valor estimado de la variable Y cuando la variable X = 0
“b” es el estimador de b , es el coeficiente de regresión
Está expresado en las mismas unidades de Y por cada unidad de X. Indica el número de unidades en que varía Y cuando se produceun cambio, en una unidad, en X (pendiente de la recta de regresión).
Un valor negativo de b sería interpretado como la magnitud del decremento en Y por cada unidad de aumento en X.

EJEMPLO:

Los datos de la siguiente tabla representan las estaturas (X, cm) y los pesos (Y, kg) de una muestra de 12 hombres adultos. Para cada estatura fijada previamente se observó el peso de una persona seleccionada deentre el grupo con dicha estatura, resultando:
X | 152 | 155 | 152 | 155 | 157 | 152 | 157 | 165 | 162 | 178 | 183 | 178 |
Y | 50 | 61.5 | 54.5 | 57.5 | 63.5 | 59 | 61 | 72 | 66 | 72 | 84 | 82 |
Con estos datos vamos a plantear una ecuación de regresión simple que nos permita pronosticar los pesos conociendo las tallas. Utilizaremos a = 0.05, y contrastaremos nuestra hipótesis con la pruebaF.

* Representación matemática y gráfica de los datos:

Representación Matemática

| estatura | pesos | | Regresión Lineal | | I.C. para la media | I. C. individual |
datos | x | y | x ^2 | y ^2 | xy | y est. | Residual | L. I. | L. S. | L. I. | L. S. |
1 | 152 | 50 | 23104 | 2500 | 7600 | 56.43 | -6.43 | 53.07 | 59.79 | 47.30 | 65.56 |
2 | 155 | 61.5 | 24025 | 3782.3 | 9532.5 |59.03 | 2.47 | 56.09 | 61.97 | 50.05 | 68.02 |
3 | 152 | 54.5 | 23104 | 2970.3 | 8284 | 56.43 | -1.93 | 53.07 | 59.79 | 47.30 | 65.56 |
4 | 155 | 57.5 | 24025 | 3306.3 | 8912.5 | 59.03 | -1.53 | 56.09 | 61.97 | 50.05 | 68.02 |
5 | 157 | 63.5 | 24649 | 4032.3 | 9969.5 | 60.77 | 2.73 | 58.05 | 63.48 | 51.85 | 69.68 |
6 | 152 | 59 | 23104 | 3481 | 8968 | 56.43 | 2.57 | 53.07 | 59.79 | 47.30| 65.56 |
7 | 157 | 61 | 24649 | 3721 | 9577 | 60.77 | 0.23 | 58.05 | 63.48 | 51.85 | 69.68 |
8 | 165 | 72 | 27225 | 5184 | 11880 | 67.71 | 4.29 | 65.17 | 70.24 | 58.85 | 76.57 |
9 | 162 | 66 | 26244 | 4356 | 10692 | 65.11 | 0.89 | 62.65 | 67.56 | 56.27 | 73.94 |
10 | 178 | 72 | 31684 | 5184 | 12816 | 78.99 | -6.99 | 74.65 | 83.33 | 69.45 | 88.52 |
11 | 183 | 84 | 33489 | 7056 | 15372 |83.32 | 0.68 | 78.01 | 88.64 | 73.31 | 93.34 |
12 | 178 | 82 | 31684 | 6724 | 14596 | 78.99 | 3.01 | 74.65 | 83.33 | 69.45 | 88.52 |

Representación Gráfica

HIPÓTESIS

HO: No hay relación entre la variable peso y la variable estatura.
HA: Hay relación entre la variable peso y la variable estatura.
Tabla de análisis de varianza | | | | | | | |
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