Regresion lineal

7 - En un proceso de extracción se estudia la relación entre tiempo de extracción y rendimiento.
Los datos obtenidos se encuentran en la siguiente tabla.
Tiempo (min)

Rendimiento (%)

10
15
20
8
12
13
15
12
14
20
19

64
81.7
76.2
68.5
66.6
77.9
82.2
74.2
70
76
83.2

18

85.3

a) ¿En este problema cual variable se considera independiente y cual independiente?
- Se debe considerar el tiempo deextracción como variable independiente (x) y al
rendimiento como la variable dependiente (y), dado que el rendimiento siempre va a
variar conforme el tiempo y no viceversa.
b) Mediante un diagrama de dispersión analice la relación entre estas dos variables. ¿Qué
tipo de relación observa y cuales son algunos hechos especiales?

Existe correlación lineal positiva ya que conforme aumenta el tiempo deextracción también
aumenta el rendimiento, es razonable suponer que la relación entre estas variables la explique un
modelo de regresión lineal simple.

c) Haga un análisis de regresión (ajuste una línea recta a estos datos, aplique pruebas de
hipótesis y verifique residuos)
Para ajustar la mejor recta que pasa más cerca de todos los puntos y para calcular estimadores, se
usa método de mínimoscuadrados, se resumen los cálculos en la hoja de Excel:
X
Tiempo
(min)

Y2

Xy

e

E2

-5.93
5.82
-5.63
0.95
-5.71
4.4
6.32
1.89
-4.69
-5.83
2.56
5.85

35.1649
33.8724
31.6969
0.9025
32.6041
19.36
39.9424
3.5721
21.9961
33.9889
6.5536
34.2225
293.8764

Y
estimado

Rendimiento
(%)
10
15
20
8
12
13
15
12
14
20
19
18
176

Suma

X2

y

64
81.7
76.2
68.5
66.6
77.9
82.2
74.2
70
76
83.2
85.3
905.8

100
4096225 6674.89
400 5806.44
64 4692.25
144 4435.56
169 6068.41
225 6756.84
144 5505.64
196
4900
400
5776
361 6922.24
324 7276.09
2752 68910.36

640
1225.5
1524
548
799.2
1012.7
1233
890.4
980
1520
1580.8
1535.4
13489

69.93
75.88
81.83
67.55
72.31
73.5
75.88
72.31
74.69
81.83
80.64
79.45

Para ajustar la recta, se calcula:

(

)

)

∑

[

(∑

)(∑

)

] = 13489 – [(176) (905.8) /12] = 203.93

(∑

)

]= 2752 – [(176)2/12] = 170.66

(∑

)

] = 68910.36 – [(905.8)2/12] = 537.55

∑

[

∑

[

Para encontrar los estimadores:

̂
̂

= 203.93 / 170.66 = 1.19492187
̅

̅ = 75.48333333 - 1.19492187 (14.66666667) = 57.9578125

Por lo tanto, la línea recta ajustada está dada por:

Con esta ecuación podemos graficar la recta de regresión lineal:

Por lo que se observa, se concluye que los errores estándistribuidos aleatoriamente, la
prueba de hipótesis de interés plantea que la pendiente es significativamente diferente
de 0.
Hipótesis a Establecer
Análisis de Regresión

En ambos casos H0 se rechaza si
| |> t ( / 2 , n -2 )

Para β1
H0 β1 = 0
HA β1≠ 0

Hipótesis a Establecer
Análisis de Varianza

t0

H0 β1 = 0
HA β1≠ 0

β1 /√
Para β0
H0 β0= 0
HA β0≠ 0

t0 β0 √CME [

̅

F0= CMR / CME

]

|

H0 serechaza si
|> F(
, n -2 )

Estadísticos obtenidos, Minitab: Con
5% de significancia para el análisis de
regresión, es obvio que para los dos
estimadores el estadísticos son mayores
(9.22; 2.88) que el del criterio de rechazo
(2.2281)
Para el análisis de Varianza es lo mismo
8.29 > 4.965
Por lo tanto se rechazan las hipótesis
nulas establecidas y se aceptan las
alternativas, las cuales indican que elmodelo es significativo

d) ¿La calidad del ajuste es satisfactoria? Argumente
Determinemos si el modelo permite hacer estimaciones con una precisión aceptable:
Coeficiente de determinación
R2 = SCR / Syy = 243.68 / 537.55 = 0.4533
El 45 % de la variación observada en el rendimiento es explicada por el modelo, la calidad de ajuste
no es satisfactorio, veamos su ajuste…
Coeficiente dedeterminación ajustado
R2 aj = CMtotal - CME / CMtotal =48.8681 – 29.38 / 48.8681 = 0.3987
Para fines de predicción se recomienda un coeficiente de determinación ajustado de 0.7 este es otro
indicador de que nuestro modelo no hace estimaciones con precisión.
Coeficiente de Correlación
r = Sxy / √SxxSyy = 203.93 / √ (170.66) (537.55) = 0.6732
Observemos las gráficas 4 en uno del modelo de regresión:

Se...