REGRESION SIMPLE Y MULTIPLE

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Estadística (complementos)

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REGRESION Y CORRELACION
Fórmulas básicas en la regresión lineal simple
Como ejemplo de análisis de regresión, describiremos el caso de Pizzería
Armand, cadena de restaurantes de comida italiana. Los lugares donde sus
establecimientos han tenido más éxito están cercanos a establecimientos de
educación superior. Se cree que las ventas trimestrales (representadaspor y) en
esos restaurantes, se relacionan en forma positiva con la población estudiantil
(representada por x). Es decir, que los restaurantes cercanos a centros escolares
con gran población tienden a generar más ventas que los que están cerca de
centros con población pequeña. Aplicando el análisis de regresión podremos
plantear una ecuación que muestre cómo se relaciona la variable dependiente“y” con la variable independiente “x”.
El modelo de regresión y la ecuación de regresión
En el ejemplo, cada restaurante está asociado con un valor de x (población
estudiantil en miles de estudiantes) y un valor correspondiente de y (ventas
trimestrales en miles de $). La ecuación que describe cómo se relaciona y con x
y con un término de error se llama modelo de regresión. Éste usado en la
regresiónlineal simple es el siguiente:
Modelo de regresión lineal simple:

y = β0 + β1 x + ε

β0 y β1 son los parámetros del modelo. ε es una variable aleatoria, llamada error,
que explica la variabilidad en y que no se puede explicar con la relación lineal
entre x y y.
Los errores, ε, se consideran variables aleatorias independientes distribuidas
normalmente con media cero y desviación estándar σ. Estoimplica que el valor
medio o valor esperado de y, denotado por E(Y/x), es igual a β0 + β1 x.
Ecuación de regresión lineal simple:

1 >0

E(y/x) = β0 + β1 x

( µY/x=E(Y/x) )

1 <0
1 =0

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La ecuación estimada de regresión (lineal simple)
Los parámetros, β0 y β1, del modelo se estiman por los estadísticos muestrales b0 y
b1, los cuales se calculan usando el métodode mínimos cuadrados.
Ecuación Estimada de regresión lineal simple:

ŷ = b0 + b1 x

En la regresión lineal simple, la gráfica de la ecuación de regresión se llama
línea de regresión estimada. ŷ es el valor estimado de y para un valor
específico de x.
Datos de población estudiantil y ventas trimestrales para una muestra de 10
restaurantes:
restaurante

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Poblac. estudiantil
(enmiles)
xi
2
6
8
8
12
16
20
20
22
26

Ventas trimestrales
(miles de $)
yi
58
105
88
118
117
137
157
169
149
202

Diagrama de dispersión
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
0

2

4

6

8

10

12

población estud. (miles)

14

16

18

20

22

24

26

28

30

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Diagrama de dispersión
(y línea de regresión estimada)
220
200
180

ŷ = b 0 + b1 x

160
140
120
100
80
6040
0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

población estud. (miles)

El método de mínimos cuadrados consiste en hallar los valores b0 y b1 que hacen
mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones entre los valores observados de
la variable dependiente, yi, y los valores estimados de la misma, ŷi. Es decir se minimiza
la suma: Σ(yi – ŷi)2.
Al aplicar el método se llega alsiguiente sistema de ecuaciones simultáneas (llamadas
ecuaciones normales de la recta de regresión de y en x), cuya solución da los valores
de b0 y b1:

nb0  (  xi )b1
 yi 

2
  xi yi  (  xi )b0  (  xi )b1
Las soluciones son las siguientes:

b1 

x y
 x i y i _ in i
( x )2
 x _ ni
2
i

( xi  x )( yi  y )
que también es b1 

( xi  x )2

y b0  y  b1x
Determine la ecuación deregresión con los datos dados.
b1=
b0=
ŷ=

( xi  x )( yi y )
n 1
( xi  x )2
n 1



SXY
SX2

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restaurante

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

xi

yi

xiyi

2
6
8
8
12
16
20
20
22
26
140

58
105
88
118
117
137
157
169
149
202
1300

21040

4
x i2

2528

El coeficiente de determinación (r2)
El coeficiente de determinación en la regresión lineal simple es una medida...